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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz der Folgen
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Universität/Hochschule Konvergenz der Folgen
Kollik
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  Themenstart: 2022-05-15

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen rationaler Zahlen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert an. Bestimmen Sie weiter bei den konvergenten Folgen zu jedem ε > 0 ein Nε ∈ N so, dass der Abstand der Folgeglieder zu dem entsprechendem Grenzwert ab dem Folgeglied Nε nicht gr¨oßer als ε ist. (i) an = (3n + 7)/(4n − 1) (ii) bn = 1/n + (−1)^n (iii)cn = 1 − ((−1)^n*n)/(n2 + 1) ich habe schon die Konvergenzwerte bestimmt glaub ich fur i) 3/4 ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1 iii) 0 Jetzt muss ich das aber noch mit ε > 0 machen wovon ich keine Ahnung habe. Ich habe jetzt das so gemacht fur i) 3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1) = 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4 32/ 16n -4 < ε 32 < ε(16n-4) 32 < 16εn -4ε 32 + 4ε < 16εn 32 +4ε / 16ε < n n > 32 + 1ε / 4ε ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-15

Hallo, \quoteon(2022-05-15 13:32 - Kollik im Themenstart) ich habe schon die Konvergenzwerte bestimmt glaub ich fur i) 3/4 ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1 iii) 0 \quoteoff Du meinst die Grenzwerte, oder jedenfalls potentielle Grenzwerte. Denn; der für i) stimmt, bei ii) solltest du dir nochmal grundsätzlich über die Konvergenz Gedanken machen, und bei iii) stimmt der Grenzwert nicht (wenn ich die Folge richtig interpretiert habe). Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 13:32 - Kollik im Themenstart) Jetzt muss ich das aber noch mit ε > 0 machen wovon ich keine Ahnung habe. Ich habe jetzt das so gemacht fur i) 3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1) = 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4 32/ 16n -4 < ε 32 < ε(16n-4) 32 < 16εn -4ε 32 + 4ε < 16εn 32 +4ε / 16ε < n n > 32 + 1ε / 4ε ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch \quoteoff Hallo Kollik, das ist falsch. Versuch mal, die Klammern korrekt zu setzen und fang noch mal von vorne an. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Kollik
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1) = 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4 32/ 16n -4 < ε 32 < ε(16n-4) 32 < 16εn -4ε 32 + 4ε < 16εn 32 +4ε / 16ε < n n > 32 + 1ε / 4ε ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch Also ich habe mein Fehler gesehen: 3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1) = 12n + 28 - 12n +3 / 4(4n-1) = 31/16n-4 31/ 16n -4 < ε 31 < ε(16n-4) 31 < 16εn -4ε 31 + 4ε < 16εn 31 +4ε / 16ε < n n > 31 + 1ε / 4ε


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Kollik
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

Bei iii) konvengiert es gegen 1 grenzwert oder?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 14:19 - Kollik in Beitrag No. 3) 3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1) = 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4 \quoteoff Wieso sollte in der ersten Zeile das Gleichheitszeichen gelten? Außerdem musst du Klammern setzen, damit die Rechnung halbwegs stimmt. Aber du hast noch Rechenfehler gemacht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da hapert es aber arg mit der Klammersetzung. Es ist: \[\ba \frac{3n+7}{4n-1}-\frac{3}{4}&=\frac{4\cdot(3n+7)-3\cdot(4n-1)}{4\cdot(4n-1)}\\ \\ &=\frac{12n+28-12n+3}{4\cdot(4n-1)}\\ \\ &=\frac{31}{4\cdot(4n-1)}\le\frac{31}{15n} \ea\] Hilft dir das weiter? Für solche Fragen solltest du dich hier unbedingt mit einem der beiden Formelsatzsysteme auseinandersetzen, die es hier gibt: \(\LaTeX\) oder den hauseigenen Formeleditor. Deine obigen Rechnungen sind nämlich abgesehen von den Fehlern sehr schwer nachvollziehbar. \quoteon(2022-05-15 14:25 - Kollik in Beitrag No. 4) Bei iii) konvengiert es gegen 1 grenzwert oder? \quoteoff Ja. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


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Kollik
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15

Hey ich habe noch eine Frage zu ii) warum ist das denn nicht ganz richtig. Ich habe ja 1/n welches gegen 0 konvengiert und (-1)^n welches fur n gerade das vorzeichen von 1 andert auf +1 und bei ungeraden bleicbt es bei -1 also fur n gerade ist der GW 1 und ungerade n -1


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 14:56 - Kollik in Beitrag No. 7) Hey ich habe noch eine Frage zu ii) warum ist das denn nicht ganz richtig. Ich habe ja 1/n welches gegen 0 konvengiert und (-1)^n welches fur n gerade das vorzeichen von 1 andert auf +1 und bei ungeraden bleicbt es bei -1 also fur n gerade ist der GW 1 und ungerade n -1 \quoteoff Man betrachtet hier aber nur die ganze Folge und untersucht nicht auf Häufungspunkte (vermute ich jedenfalls). Wie wäre denn folgendes: - die komplette Aufgabenstellung in einer vernünftigen Form posten - eine Aufgabe nach der anderen komplett besprechen? (Wir wissen jetzt nicht, was du mit den bisherigen Hinweisen zur i) so angestellt hast...) Gruß, Diophant


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