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Analysis » Topologie » Beispiel zur Halbstetigkeit
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Universität/Hochschule Beispiel zur Halbstetigkeit
Phi1
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  Themenstart: 2022-05-17

Hi! Vielleicht könnt Ihr mir helfen. Ich suche ein Beispiel für eine folgen-unterhalbstetige Funktion, die nicht unterhalbstetig ist. Mir fällt leider keines ein. Dank für jede Idee! MfG


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, bei diesen Begrifflichkeiten vermute ich, dass es um Funktionen $\mathbb R\to \mathbb R$ gehen soll und $\mathbb R$ mit der gewöhnlichen Metrik versehen ist? Dann gibt es solch eine Funktion nicht. In nicht metrisierbaren topologischen Räumen findet man aber natürlich Funktionen, die nicht stetig, aber folgenstetig sind. (Besser formuliert: Es gibt Räume, in denen es solche Funktionen gibt.) LG Nico\(\endgroup\)


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Phi1
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Danke für Deine Antwort! Ich hab mich unklar ausgedrückt! Ich suche genau das was Du beschrieben hast: In nicht metrisierbaren topologischen Räumen findet man aber natürlich Funktionen, die nicht stetig, aber folgenstetig sind. Genau so ein Beispiel suche ich. MfG


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Betrachte einen topologischen Raum $(X,\mathcal T)$ mit einer Teilmenge $A$, deren Abschluss $\overline A$ echt größer ist, als die Menge $G$ aller Grenzwerte von konvergenten Folgen in $A$ (das wäre ja der "klassische" Abschluss z.B. in metrischen Räumen). Wähle ein beliebiges $a\in \overline A\setminus G$ und betrachte $Y:=A\cup\lbrace a\rbrace$. Betrachte dann die Abbildung $$ f\colon Y\to \lbrace 0,1\rbrace, \ f(y)=\begin{cases} 1, & y=a \\ 0, & y\neq a \end{cases}. $$ Edit: Vielleicht ein konkreteres Beispiel: Sei $\mathcal T_c$ die koabzählbare Topologie auf $\mathbb R$, $\mathcal T_d$ die diskrete Topologie auf $\mathbb R$ und $f\colon (\mathbb R,\mathcal T_c)\to (\mathbb R, \mathcal T_d)$ die identische Abbildung. LG Nico\(\endgroup\)


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Phi1
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Danke nochmals! Gut, diese Funktion $f$ ist folgenstetig, aber nicht stetig. Soweit so gut, aber gibt es ein konkretes Beispiel für solch einen topologischen Raum, wo $\bar{A}$ echt größer als $G$ ist? MfG


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-17

Hallo, ich hatte meinen Beitrag in der Zwischenzeit nochmal erweitert. Jede überabzählbare Menge zusammen mit der koabzählbaren Topologie liefert solch ein Beispiel. LG Nico


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Phi1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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