Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Ist der arctan(1/x) stetig? Und ist e^x ein Polynom? Wie begründet man bei ganzer Funktion Stetigkeit?
Autor
Universität/Hochschule J Ist der arctan(1/x) stetig? Und ist e^x ein Polynom? Wie begründet man bei ganzer Funktion Stetigkeit?
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Themenstart: 2022-05-18

Hi, wenn ich ein Polynom habe, so ist es ja autoamtisch stetig, aber z. B. arctan(1/x) ist kein Polynom oder? Und ist überhaupt e^x ein Polynom? Ich habe mir gedacht, ich könnte ja die Stetigkeit durch die Differnzierbarkeit begründen oder? Wenn ich habe arctan(1/x), das ist ableitbar und dadurhc auch stetig oder? Aber 1/0 ist ja eigentlich nciht definiert, warum wäre das trotzdem stetig? Und wie begründet man überhaupt Stetigkeiten, für eine ganze Funktion? Ich muss die Stetigkeit wegen dem Bisektionsverfahren immer prüfen, da das ja eine Grundvoraussetzung ist...


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9333
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Nein, weder die Arkustangens- noch die Exponentialfunktion sind Polynome. Man rechnet beide zu den sog. Transzendenten Funktionen. \quoteon(2022-05-18 11:55 - manuel28 im Themenstart) Und wie begründet man überhaupt Stetigkeiten, für eine ganze Funktion? \quoteoff Nach Definition, wie sonst? \quoteon(2022-05-18 11:55 - manuel28 im Themenstart) Ich muss die Stetigkeit wegen dem Bisektionsverfahren immer prüfen, da das ja eine Grundvoraussetzung ist... \quoteoff Nun, da muss man aber sicherlich nicht jedesmal die komplette Funktion überprüfen. Bei der Exponentialfunktion kannst du das als bekannt annehmen. Bei der Funktion \(x\mapsto\on{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)\) hat man eine Verkettung zweier stetiger Funktionen. Hier könnte man höchstens überprüfen, ob sich die Funktion an der Stelle \(x=0\) stetig fortsetzen lässt. Und dabei wird man recht schnell sehen, dass das nicht möglich ist. Also ist auch diese Funktion auf \(\IR\setminus\lbrace 0\rbrace\) als Komposition stetiger Funktionen selbst wieder stetig. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]\(\endgroup\)


   Profil
manuel28
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 12:03 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo und willkommen hier im Forum! Nein, weder die Arkustangens- noch die Exponentialfunktion sind Polynome. Man rechnet beide zu den sog. Transzendenten Funktionen. \quoteon(2022-05-18 11:55 - manuel28 im Themenstart) Und wie begründet man überhaupt Stetigkeiten, für eine ganze Funktion? \quoteoff Nach Definition, wie sonst? \quoteon(2022-05-18 11:55 - manuel28 im Themenstart) Ich muss die Stetigkeit wegen dem Bisektionsverfahren immer prüfen, da das ja eine Grundvoraussetzung ist... \quoteoff Nun, da muss man aber sicherlich nicht jedesmal die komplette Funktion überprüfen. Bei der Exponentialfunktion kannst du das als bekannt annehmen. Bei der Funktion \(x\mapsto\on{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)\) hat man eine Verkettung zweier stetiger Funktionen. Hier könnte man höchstens überprüfen, ob sich die Funktion an der Stelle \(x=0\) stetig fortsetzen lässt. Und dabei wird man recht schnell sehen, dass das nicht möglich ist. Also ist auch diese Funktion auf \(\IR\setminus\lbrace 0\rbrace\) als Komposition stetiger Funktionen selbst wieder stetig. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant] \quoteoff Danke, aber es gibt ja eine Ableitung für arctan(1/x). Und eigentlich folgt ja aus Differenzierbarkeit gleich stetig... Das verwirrt mich und die Definition von Stetigkeit kenne ich, aber ich habe imnmer das für einzelne Punkte geprüft, nun haben wir eine ganze Funktion, z. B. arctan(e^-x)+1/2, was mache ich hier? WEnn ich das auf Stetigkeit prüfen will, habe ja kein Intervall?


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9333
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-18 12:15 - manuel28 in Beitrag No. 2) Danke, aber es gibt ja eine Ableitung für arctan(1/x). \quoteoff Auch diese Ableitung ist an der Stelle \(x=0\) nicht definiert, genauso wie die Funktion selbst. Und da links- und rechtsseitiger Grenzwert an dieser Stelle nicht übereinstimmen, ist auch nichts mit stetiger Fortsetzbarkeit. \quoteon(2022-05-18 12:15 - manuel28 in Beitrag No. 2) Und eigentlich folgt ja aus Differenzierbarkeit gleich stetig... Das verwirrt mich und die Definition von Stetigkeit kenne ich, aber ich habe imnmer das für einzelne Punkte geprüft, nun haben wir eine ganze Funktion,... \quoteoff Dann hast du das Konzept und die Definition des Begriffs aber noch nicht so ganz verstanden. \quoteon(2022-05-18 12:15 - manuel28 in Beitrag No. 2) z. B. arctan(e^-x)+1/2, was mache ich hier? \quoteoff Die Funktionen \(x\mapsto-x\), \(x\mapsto e^x\), \(x\mapsto\on{arctan}(x)\) und \(x\mapsto\frac{1}{2}\) sind jeweils auf ganz \(\IR\) stetig. Für die Funktion \(x\mapsto\on{arctan}\left(e^{-x}\right)+\frac{1}{2}\) gilt damit das gleiche: da sie eine Verkettung der vier einzelnen Funktionen ist. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3568
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-05-18 12:03 - Diophant in Beitrag No. 1) Nein, weder die Arkustangens- noch die Exponentialfunktion sind Polynome. Man rechnet beide zu den sog. Transzendenten Funktionen. \quoteoff Man muss aber begründen, dass die Funktionen keine Polynome sind: $\arctan(1/x)$ ist keine Polynomfunktion, da die Funktion sich nicht stetig auf $\IR$ fortsetzen lässt. Alternativ: $\arctan(1/x)$ ist beschränkt und nicht konstant. $\exp(x)$ ist kein Polynom, weil $\exp$ nicht konstant ist und $\lim_{x\to-\infty} \exp(x)= 0$ gilt. Alternativ könnte man auch benutzen, dass bei Polynomen fast alle höheren Ableitungen verschwinden. \(\endgroup\)


   Profil
manuel28 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
manuel28 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]