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Universität/Hochschule χ²-Test für Poisson
MarinSC
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  Themenstart: 2022-05-18

Hey, also ich hätte ein Frage bezüglich der Auswertung eins Chi-Quadrat-Tests. Ich denke, ich habe es verstanden, aber wenn jemand bestätigen könnte, dass es so funktioniert, würde ich mich freuen: Ich habe die folgende Tabelle: \ (Ereignisse:, 0,1,2,3,4,5,6,7,8;Haufigkeit: ,40,85,92,62,25,19,7,4,2) Nun soll ich die Annahme prüfen, dass diese Häufigkeitsverteilung keine Stichprobe aus einer poissonverteilten Grundgesamtheit mit Mittelwert 2.155 ist. Anhand eines Chi_Quadrat-Tests mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit Dazu habe ich zunächst folgende Nullhypothese aufgestellt: "Die Messwerte stellen keine Stichprobe aus einer poissonverteilten Grundgesamtheit mit dem Mittelwert 2.155 dar. " Die Ereignisse in Klassen zusammengefasst und anschließend ausgewertet. Ich habe die Ereignisse >=6 in eine Klasse zusammengefasst, die anderen Ereignisse haben jeweils ihre eigene Klasse, also sieben Klassen. Die Auswertung hat nur ein Chi Quadrat von 7.779 ergeben. Wir haben einen Parameter, sieben Klassen, also sechs Freiheitsgrade. Entsprechende Tabelle geben dann den zu vergleichenden Wert mit 12.59 an. So, nun zu meiner Fragestellung: Ich dachte, ich verwerfe die Nullhypothese, wenn ich über dem "kritischen" Wert liege? Ich denke, hier soll die Nullhypothese verworfen werden, die Messwerte stammen aus einer poissonverteilung. Liegt die Erklärung in der Verneinung der Nullhypothese? Ist dann meine Formulierung richtig, also Nullhypothese s.o., Antwort: "weil Chi-Quadrat unterhalb des kritischen Werts liegt, wird die Nullhypothese verworfen, die Messwerte könnten aus einer Chi-Quadratverteilung stammen" Danke für jede Hilfe, eigentlich glaube ich, ich habe es verstanden, aber die Verneinung verunsichert mich.


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin MarinSC, willkommen auf dem MP. Man kann den Test nicht durchfuehren mit der Nullhypothese: Die Messwerte stellen keine Stichprobe aus einer poissonverteilten Grundgesamtheit mit dem Mittelwert 2.155 dar. Bedenke, dass die Pruefverteilung eine eindeutig spezifizierte Verteilung in der Nullhypothese erfordert, deine weist unendlich viele auf. Dein Testergebnis deutet in der Tat darauf hin, als wuerdest du in Tat die Nullypothsese Die Messwerte stammen aus einer poissonverteilten Grundgesamtheit mit dem Mittelwert 2.155. Dieses Ergebnis bedeutet, dass du H$_0$ *nicht* verwerfen kannst (bei einem Signifikanzniveau von 5%). vg Luis\(\endgroup\)


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MarinSC
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Hallo Luis, danke für deine Antwort. Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich das so ganz verstanden habe. Ich muss also meine Nullhypothese ändern in die positive Formulierung und verwerfe die neue Nullhypothese nicht, komme also zum Ergebnis, dass die Messreihe aus einer Poissonverteilung stammen könnte. Könntest du mir vielleicht noch bei der Irrtumswahrscheinlichkeit helfen? Basierend auf dieser Tabelle suche ich mir dann den Wert bei 0.05 und 6 Freiheitsgraden. Aber interpretiere ich die Tabelle so richtig? Weil nach rechts wird Chi-Quadrat immer größer, ich würde also auch z.B. Irrtumswahrcheinlichkeit 1% annehmen. Das deutet darauf hin, dass ich die Tabelle falsch interpretiere und einen Eintrag von p=0.95 nehme. Da ist der kritische Wert aber kleiner als mein Ergebnis, daher müsste ich meine neue Nullhypothese verwerfen und sagen, die Messung stammt nicht aus einer Poissonverteilung?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-05-19 10:52 - MarinSC in Beitrag No. 2) Könntest du mir vielleicht noch bei der Irrtumswahrscheinlichkeit helfen? Basierend auf dieser Tabelle suche ich mir dann den Wert bei 0.05 und 6 Freiheitsgraden. Aber interpretiere ich die Tabelle so richtig? Weil nach rechts wird Chi-Quadrat immer größer, ich würde also auch z.B. Irrtumswahrcheinlichkeit 1% annehmen. Das deutet darauf hin, dass ich die Tabelle falsch interpretiere und einen Eintrag von p=0.95 nehme. Da ist der kritische Wert aber kleiner als mein Ergebnis, daher müsste ich meine neue Nullhypothese verwerfen und sagen, die Messung stammt nicht aus einer Poissonverteilung? \quoteoff Beim Chi-Quadratanpassungstest wird die Nullhypothese verworfen, wenn der Wert der Pruefgroesse "zu gross" ist. Das Signifikanznviveau entscheidet darueber, was du als "zu gross" erachtest. Es spricht einiges dafuer, dass du mit dem SN 0.05 arbeitest. Der 95%-Punkt der $\chi^2(6)$-Verteilung ist 12.592, was bedeutet, dass die Nullhypothese verworfen wird, wenn die Pruefgroesse einen Wert annimmt, der groesser ist als 12.592. Tatsaechlich hast du 7.779 berechnet, was bedeutet, dass du keinen Anlass hast, die Nullhypothese abzulehnen. Das Testergebnis gibt keinen Anlass, die Annahme zu bezweifeln, dass die Daten einer $P(2.155)$-Verteilung entstammen. Allerdings ist das kein Beweis. Ein anderer, speziellerer Test koennte zu einer Ablehnung fuehren. vg Luis\(\endgroup\)


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