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Physik » Relativitätstheorie » Radialer Fall in der Schwarzschildmetrik
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Universität/Hochschule J Radialer Fall in der Schwarzschildmetrik
Bruce94
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  Themenstart: 2022-05-18

Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe: Ein Teilchen fällt radial auf den Zentralkörper einer Schwarzschildmetrik zu. Berechnen Sie dafür folgendes. a) Gehen sie von $u_{\mu} u^{\mu} = c^2$ aus und bestimmen Sie damit die Fallgeschwindigkeit, die ein im Unendlichen ruhender Beobachter wahrnimmt. Darin gibt es die Erhaltungsgröße $u^0 (1-\frac{r_S}{r})$ (Herleitung nicht verlangt). Nutzen Sie dies, um anzugeben, welche Geschwindigkeit der weit entfernte Beobachter bei Annährung des fallenden Objekts an den Schwarzschildradius sieht. b) Welche Geschwindigkeit beobachtet ein ruhender Beobachter, der sich auf der Höhe des fallenende Teilchens (also bei der selben radialen Koordinate) befindet? Mein Ansatz: a) Da sich das Teilchen radial nähert, lautet die Schwarzschildmetrik $$ds^2=(1-\frac{r_S}{r}) c^2 dt^2 - (1-\frac{r_S}{r})^{-1} dr^2.$$ Ich kann beide Seiten nach der Eigenzeit $\tau$ ableiten und erhalte somit $$\begin{equation} s'^2=(1-\frac{r_S}{r}) c^2 t'^2 - (1-\frac{r_S}{r})^{-1} r'^2, \end{equation}$$ wobei $()'$ die Ableitung nach der Eigenzeit beschreibt. Die linke Seite der Gleichung ist außerdem $$ \begin{equation} s'^2=g_{\mu \nu} \cdot \frac{dx^{\mu}}{d \tau} \cdot \frac{dx^{\nu}}{d \tau}=g_{\mu \nu} \cdot u^{\mu} \cdot u^{\nu} =g_{\mu \nu} \cdot \eta_{\mu \nu}\cdot u_{\mu} \cdot u^{\nu} \end{equation}$$ Ich denke mal, dass ich $\mu=\nu$ betrachten kann, sodass ich die Voraussetzung $u_{\mu} u^{\mu} = c^2$ an dieser Stelle nutzen kann. Die Multiplikation der beiden Matrizen davor liefert mir allerdings nichts schönes. Letztlich läuft es vermutlich darauf hinaus, dass ich Gleichung (1) und (2) gleichsetze und nach $r'$ umstelle. Hat jemand eine Idee? b) Mit Teil b) habe ich mich noch nicht beschäftigt. Danke schonmal für eure Antworten. Liebe Grüße Bruce


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

Huhu Bruce, wo hast Du denn den $\eta$-Tensor hergezaubert? Du befindest Dich nicht in einer flachen Minkowski-Welt... Der metrische Tensor der Schwarzschildmetrik ist symmetrisch, Du kannst also in (2) einfach schreiben: ${s'}^2 = g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = g_{\nu\mu}u^\mu u^\nu = u_\mu u^\nu$. Du kannst natürlich auch nicht einfach $\mu = \nu$ setzen, allerdings vereinfacht sich die Betrachtung durch die rein radiale Bewegung hier entsprechend. lg, AK


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Bruce94
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Huhu AK, danke für deine Antwort. Den $\eta$-Tensor habe ich aus der Beziehung $x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} \cdot x^{\nu}$ gezaubert und stelle gerade fest, dass ich es in meiner Rechnung falsch gemacht habe. Ich erhalte $$ \begin{equation*} \begin{split} c^2&=(1-\frac{r_S}{r}) c^2 t'^2 - (1-\frac{r_S}{r})^{-1} r'^2 \\ \Leftrightarrow r' &= \sqrt{(1-\frac{r_S}{r})^2c^2t'^2-c^2 \cdot (1-\frac{r_s}{r})} \\ \Leftrightarrow r' &= \sqrt{[(1-\frac{r_S}{r})u^0]^2-c^2 \cdot (1-\frac{r_s}{r})} \\ \end{split} \end{equation*} $$ Dort ist die genannte Erhaltungsgröße vorhanden. Wenn ich nun die Geschwindigkeit angeben möchte, die man aus weiter Entfernung beobachtet, wenn sich das fallende Objekt dem Schwarzschildradius annähert, muss ich einfach $r \to r_S$ laufen lassen und erhalte somit $$ \begin{equation*} \begin{split} r' &= (1-\frac{r_S}{r})u^0\\ \end{split} \end{equation*} $$ die Erhaltungsgröße als Geschwindigkeit. b) Wenn ich mich als ruhender Beobachter immer auf der selben radialen Koordinate befinde, ist die Geschwindigkeit des Teilchens dann relativ zu mir gesehen nicht einfach 0?


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19

Huhu Bruce, das scheint mir soweit zunächst alles richtig. Wirklich interessant (und das solltest Du unbedingt einmal nachrechnen) ist allerdings der Verlauf der Beschleunigung. Man stellt nämlich fest, dass das einfallende Objekt zunächst angezogen (beschleunigt) wird, ab einer Grenzgeschwindigkeit $r' \geq \sqrt{3} c (1-\frac{r_S}{r})$ allerdings abgestossen (abgebremst) wird. Das widerspricht natürlich der Intuition, die wir aus unserer alltäglichen Umgebung gewinnen.. lg, AK


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