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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte von Endomorphismen
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Universität/Hochschule Eigenwerte von Endomorphismen
ebenenspinne59
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  Themenstart: 2022-05-22

Hallo liebes Matheforum, ich sitze aktuell an einer Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiterkomme. Sie ist wie folgt gestellt: \(V\) soll ein \(\IC\)-Vektorraum sein, außerdem soll \(F:V->V\) ein Endomorphismus derart sein, dass \(F^2+F\) den Eigenwert \(-1\) besitzt. Ich soll die Behauptung beweisen, dass dann \(F^3\) den Eigenwert \(1\) hat. Bisher sind meine Ansätze recht marger. Ich weiß, dass das Charakteristische Polynom laut des Fundamentalsatzes der Algebra in Linearfaktoren zerfällt. Mich stört es irgendwie an dem \(+ F\). Ich denke es wäre angenehmer, nur potenzen von \(F\) zu haben. Hat jemand vielleicht ein paar Tips? Lg


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Willkommen auf dem MP! Tipp: Faktorisiere $x^3 - 1$.\(\endgroup\)


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ebenenspinne59
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-22 20:40 - Kezer in Beitrag No. 1) Willkommen auf dem MP! Tipp: Faktorisiere $x^3 - 1$. \quoteoff Danke! \((x-1)(x^2+x+1)\). Ich bin aber noch zu blind, ich sehe noch nicht, wie mir das Weiterhilft. Die Funktion hat offensichtlich die Nullstelle \(1\) wie gewünscht, aber in welcher Relation steht sie zur Aufgabe? 😵


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-22 20:57 - ebenenspinne59 in Beitrag No. 2) aber in welcher Relation steht sie zur Aufgabe? \quoteoff $F^3$ hat den Eigenwert $1$, wenn $F^3-1$ den Eigenwert $0$ hat. Und die Faktorisierung zeigt dir, dass eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass $F^2+F$ den Eigenswert $-1$ hat. --zippy


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-22

Vielleicht noch zur Klarstellung: Aus der Identität $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$ in $\IC[X]$ folgt auch die Identität $F^3 - 1 = (F - 1)(F^2 + F + 1)$ in $\mathrm{End}(V)$ (entweder weil sich die Identität sowieso in jedem Ring beweisen lässt, oder eben indem man den Einsetzungshomomorphismus $\IC[X] \to \mathrm{End}(V)$, $X \mapsto F$ anwendet). Weiter braucht man hier: 1) $F$ hat $\lambda$ zum Eigenwert $\iff$ $F - \lambda$ ist nicht injektiv [Das ist die Definition.] 2) Wenn $F \circ G$ injektiv ist, dann ist auch $G$ injektiv. Kontraposition: Wenn $G$ nicht injektiv ist, dann ist auch $F \circ G$ nicht injektiv.


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ebenenspinne59
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22

\quoteon(2022-05-22 22:50 - Triceratops in Beitrag No. 4) Vielleicht noch zur Klarstellung: Aus der Identität $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$ in $\IC[X]$ folgt auch die Identität $F^3 - 1 = (F - 1)(F^2 + F + 1)$ in $\mathrm{End}(V)$ (entweder weil sich die Identität sowieso in jedem Ring beweisen lässt, oder eben indem man den Einsetzungshomomorphismus $\IC[X] \to \mathrm{End}(V)$, $X \mapsto F$ anwendet). Weiter braucht man hier: 1) $F$ hat $\lambda$ zum Eigenwert $\iff$ $F - \lambda$ ist nicht injektiv [Das ist die Definition.] 2) Wenn $F \circ G$ injektiv ist, dann ist auch $G$ injektiv. Kontraposition: Wenn $G$ nicht injektiv ist, dann ist auch $F \circ G$ nicht injektiv. \quoteoff Danke Triceratops! Ich denke, ich kann nun einen Beweis formulieren. Ich melde mich Morgen nochmal, vielleicht könnt Ihr mir dann Rückmeldung geben, ob der ausreichend ist. Das mit der Injektivität ist mir noch garnicht eingefallen, ich lese mich jetzt erstmal in diese Definition ein. Wir hatten die Eigenwerte über die nullstellen des Charakteristischen Polynoms der Darstellungsmatrix von F definiert. Lg


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Nuramon
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Als Alternative, bei der man kaum Nachdenken muss: Sei $v$ ein Eigenwert von $F^2+F$ zum Eigenwert $-1$, also insbesondere $F^2(v)+F(v)=-v$. Dann ist $$ F^3(v) = F(F^2(v)) = \ldots = v.$$ \(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-23

\quoteon(2022-05-22 23:31 - ebenenspinne59 in Beitrag No. 5) Wir hatten die Eigenwerte über die nullstellen des Charakteristischen Polynoms der Darstellungsmatrix von F definiert. \quoteoff Diese Definition ist unvorteilhaft, nicht nur weil sie überhaupt nicht im unendlich-dimensionalen Fall funktioniert (und in deiner Frage ist $V$ ein beliebiger Vektorraum), sondern auch weil einige elementare Eigenschaften von Eigenwerten damit nicht direkt ersichtlich sind. @Nuramon: Schön!


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Kezer
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Ich dachte an: Sei $v$ ein Eigenvektor von $F^2+F$ zum Eigenwert 1, dann ist $$(F^3-I)(v) = (F-1)((F^2+F+I)(v)) = \cdots \implies F^3(v) - v = \cdots.$$\(\endgroup\)


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