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  Primzahlzählfunktion |
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Pfandflasche007
Aktiv 
Dabei seit: 02.10.2021
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2022-05-23
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Hallo,
ich habe eine kurze Frage, zur Primzahlzählfunktion. Wie kommt man darauf, dass es eine Primzahl p mit $ x < p ≤ (1 + \varepsilon)x$ geben muss?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße,
Pfandflasche007
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 Profil
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3567
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Es wäre sinnvoll, wenn Du den ganzen Beweis zeigst nicht nur die eine Stelle. Es ist z.B. gar nicht klar, was $x$ sein soll.\(\endgroup\)
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Profil
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Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 266
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-23
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Hier wird einfach der Primzahlsatz in der Form $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}}=1$ verwendet. Aufgrund des Grenzwerts existiert für jedes $\varepsilon>0$ ein $x_1$, sodass für alle $x>x_1$ der Quotient $\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}}$ im offenen Intervall $\left(1-\frac{\varepsilon}{3},1+\frac{\varepsilon}{3}\right)$ liegt. Insbesondere gilt dies dann auch für $(1+\varepsilon)x>x>x_1$. Damit werden nun gemäß der sich daraus ergebenden Ungleichungen $\pi((1+\varepsilon)x)$ nach unten und $\pi(x)$ nach oben abgeschätzt, woraus sich die rot unterstrichene Ungleichung ergibt.
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Profil
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Pfandflasche007
Aktiv
Dabei seit: 02.10.2021
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23
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Hallo,
vielen Dank, dass ihr mir noch so spät geantwortet habt und tut mir leid, dass ich jetzt erst wieder am Morgen schreibe.
@Nuramon vielen dank für den Hinweis, ich habe die Aufgabenstellung nun in die Frage getan, ansonsten war das alles was ich zu der Aufgabe as Lösung hatte
@Ixx Vielen vielen Dank für die Erklärung, mir ist jetzt alles klar :)
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Profil
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Pfandflasche007 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pfandflasche007 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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