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 Was ist eine korrekte Konstruktion? |
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thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1490
Wohnort: Kiel, Deutschland
 |  Themenstart: 2022-05-23
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Hallo zusammen,
ich hätte gern ein Unterforum "Beweistheorie/Beweisbarkeit" oder ähnlich.
Ist es möglich, den Begriff korrekt so zu definieren, dass eine korrekte Konstruktion des(?)/eines(?) Körpers mit sechs Elementen möglich wird (und auf diese Weise ZFC als widersprüchlich erkannt wird)?
Alternativ: Man finde ein möglichst kleines (und natürlich widerspruchsfreies) Axiomensystem, in dem es möglich ist, zu zeigen, dass ein Körper mit sechs Elementen existiert.
\quoteon(2022-05-23 10:14 - tactac in Beitrag No. 5)
\quoteon(2022-05-23 08:40 - thureduehrsen in Beitrag No. 4)
Ich habe leichte Bedenken, ob ich dich richtig verstanden habe.
Satz: Es gibt keinen Körper mit sechs Elementen.
Beweis: Die Mächtigkeit jedes endlichen Körpers ist eine Primzahlpotenz. Es ist 6 keine Primzahlpotenz, aus die Maus.
Wenn ich also nun eine korrekte Konstruktion eines Körpers mit sechs Elementen angebe (was "korrekt" bedeutet, wäre noch zu klären), dann folgt daraus was?
[...]
\quoteoff
In dem Beispiel benutzt du für den Satz eigentlich fast nur die Körperaxiome (tatsächlich aber etwas mehr). Bei der Konstruktion des Beispielkörpers würde man so etwas wie ZFC benutzen. Gelingt die Konstruktion, bricht nicht etwa die Welt zusammen, sondern es stellt sich lediglich ZFC als widersprüchlich heraus.
\quoteoff
mfg
thureduehrsen
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2787
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Damit wir halbwegs sinnvoll von "$\IN$" und "6" sprechen können, müssen wir wahrscheinlich mindestens soetwas wie Heyting-Arithmetik für einen Teil der Theorie annehmen. Widerspruchsfreiheitsbeweise, die alle überzeugen, gibt's dann aber eigentlich ohnehin schon nicht mehr.
Ich vermute ebenfalls: egal, wie wir uns anstellen, der Satz wird mit dem minimalen Axiomensystem auch beweisbar sein (wir brauchen ja irgendwas, das bewirkt, dass "Körper", "6" usw. auch das bedeuten, was wir damit meinen, damit es sich nicht um eine sinnlose Sprachspitzfindigkeitsübung handelt). Ein widerspruchsfreies System zu finden, das außerdem zu beweisen erlaubt, es gebe Körper mit 6 Elementen, ist daher natürlich schwierig. ^^
Dennoch ist wichtig zu beachten: Eine Herleitung von $\lnot A$, auch wenn sie mit "Aus die Maus." endet, ist i.A. kein Beweis für die Nichtherleitbarkeit von $A$.\(\endgroup\)
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