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Universität/Hochschule Roulette-Spiel
Elisa
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  Themenstart: 2022-05-23

Hallo, Man spielt beim Roulette 1000 Mal. X1 = Anzahl aufgetretenen roten Zahlen X2 = Anzahl aufgetretenen schwarzen Zahlen X3 = Anzahl der Nullen Nun soll ich bedingte Verteilung von X2 gegeben X1 berechnen. Formel für bedingte Verteilung: P(X2=x,X1=x)/P(X1) P(X1)ist doch 1000*(18/37) oder? Wie berechne ich nun P(X1=x,X2=x)? Gruß Elisa


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! \quoteon(2022-05-23 11:32 - Elisa im Themenstart) Formel für bedingte Verteilung: P(X2=x,X1=x)/P(X1) P(X1)ist doch 1000*(18/37) oder? \quoteoff Au weia, da würde ich nochmal überlegen: Wahrscheinlichkeiten liegen ja gerüchtehalber stets zwischen 0 und 1... 😉 Als Tipp: die Anzahl der aufgetretenen roten Zahlen kann man als binomialverteilt annehmen. \quoteon(2022-05-23 11:32 - Elisa im Themenstart) Wie berechne ich nun P(X1=x,X2=x)? \quoteoff Die wird vor allem noch von \(X_3\) abhängen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Elisa
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23

Hallo, und Danke für die schnelle Antwort. Warum darf ich annehmen, das die Anzahl der rot aufgetretenen Zahlen binomialverteilt sind? Und warum wird P(X1=x,X2=x) noch von X3 abhängen? Gruß Elisa


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-05-23 13:52 - Elisa in Beitrag No. 2) und Danke für die schnelle Antwort. Warum darf ich annehmen, das die Anzahl der rot aufgetretenen Zahlen binomialverteilt sind? \quoteoff Die einzelnen Spieldurchgänge darf man als stochastisch unabhängig annehmen. Wenn wir jetzt die gefallenen Zahlen einteilen in _rote_ und _nicht rote_ Kugeln, dann ist die ZV \(X_1\) ja offensichtlich binomialverteilt mit den Parametern \(n=1000\) und \(p=18/37\). \quoteon(2022-05-23 13:52 - Elisa in Beitrag No. 2) Und warum wird P(X1=x,X2=x) noch von X3 abhängen? \quoteoff \(X_3\) zählt die Nullen. Von daher hängt die Summe \(X_1+X_2\) ja direkt von \(X_3\) ab. Oder andersherum: in dem Moment, wo du die Variablen \(X_1\) und \(X_2\) mit Werten belegst, etwa \(X_1=x_1,\ X_2=x_2\), dann legst du ja auch \(X_3=x_3\) fest mit \(x_3=1000-(x_1+x_2)\). Und das musst du im Zähler geeignet berücksichtigen. So schwierig ist das jetzt hier auch nicht. (Vielleicht hilft dir das Stichwort Multinomialverteilung weiter?) Noch etwas zu diesem Forum: fertige Lösungen für Übungsaufgaben geben wir hier grundsätzlich nicht (darin besteht manchmal ein Missverständnis, das soll also insbesondere kein Vorwurf an dich sein). Die Vorgehensweise ist die, dass du versuchst, aus den Hinweisen etwas zu machen, also im Idealfall die Aufgabe selbst gelöst bekommst oder eben weitere Rückfragen stellst, wie du es ja hier jetzt schon gemacht hast. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-23

\quoteon(2022-05-23 11:32 - Elisa im Themenstart) Formel für bedingte Verteilung: P(X2=x,X1=x)/P(X1) P(X1)ist doch 1000*(18/37) oder? \quoteoff Hallo Elisa, Da X1 eine Zufallsvariable ist, ergibt der Ausdruck P(X1) keinen Sinn. Bestenfalls P(X1 = x) für ein x. Meinst du vielleicht den Erwartungswert E(X1)? Es gilt tatsächlich E(X1) = 1000*(18/37) . Für die bedingte Verteilung \(P(X_1 = x \mid X_2 = y)\) gilt \[P(X_1 = x \mid X_2 = y) = \frac{P(X_1=x\text{ und }X_2=y)}{P(X_1=x)}\] (Beachte, dass da nicht beides Mal x steht.)


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