| Autor |
  Stetigkeit und Banachraum |
|
Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
 |  Themenstart: 2022-05-24
|
Hallo Zusammen,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe/ meinen Überlegungen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Screenshot_20220524-131920_Adobe_Scan.jpg
Meine Idee für Beschränktheit:
Jedes f aus A ist ja Beschränkt und meine Menge A ist ja gerade die Vereinigung aller f aus diesem A. Da jedes f Beschränkt ist, muss auch die Vereinigung der f Beschränkt sein.
Beim Beweis der Abgeschlossenheit muss ich ja zeigen, dass das Komplement A' offen ist. Ist das Komplement in dem Fall, die Menge Aller f aus A, deren Maximum größer als 4 ist ? Dann ist es ja klar, dass die Menge offen ist, weil ich zu jeder Funktion, deren Maximum größer 4 ist, ein Punkt auf einer beliebigen Funktion nehmen kann und eine Epsilon Kugel drum bauen kann und der Rand also die 4 wird nicht berührt.
Für Nicht-Kompaktheit weiß ich leider gerade keinen Rat.. Weil A ja abgeschlossen und Beschränkt sollte es nach meinem bisherigen Wissen auch kompakt sein. Ich habe nur was gefunden betreffend des nicht vorhanden sein, einer konvergenten Teilfolge....
Ich bin dankbar für jeden Hinweis
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-24
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
der Satz von Heine-Borel besagt, dass in endlich-dimensionalen normierten Vektorräumen über einem vollständigen topologischen Körper (welche immer Banachräume sind) eine Teilmenge genau dann kompakt (nach der Überdeckungsdefinition) ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Du hast hier offenbar einen unendlich-dimensionalen normierten Raum und folglich findet dieser Satz hier auch keine Anwendung (sonst wäre die Aufgabe ja auch sinnfrei).
In metrischen Räumen ist Kompaktheit (nach der Überdeckungsdefinition) zudem äquivalent zu Folgenkompaktheit. Du könntest also z.B. nach einer Folge in $A$ suchen, die in $A$ keine konvergente Teilfolge besitzt.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-24
|
Hallo,
danke für deine Antwort. Machen denn zunächst meine anderen Ausführungen Sinn?
Das mir Heine-Borel nicht helfen kann ist mir dann auch noch eingefallen und die Aufgabe wäre dann wirklich Sinnfrei. Ich habe leider aber gerade ein paar Vorstellungsprobleme. Ich weiß ja, dass es sich um einen vollständigen Topologischen Körper handelt. Jede Cauchy Folge konvergiert, also fallen solche Folgen zur Betrachtung ja weg. Ich muss also eine beliebeige Folge fn finden, die nicht konvergiert und somit keine konvergente Teilfolge besitzt, richtig?
Hast du vielleicht einen Hinweis, damit ich selber auf diese Folge komme?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-24
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Konvergenz in dem von dir betrachteten Raum bedeutet ja gerade gleichmäßige Konvergenz.
Du findest bestimmt zumindest schonmal eine Folge in $A$ die nicht konvergent ist (die also als Funktionenfolge betrachtet nicht gleichmäßig konvergiert). Wenn du dabei nicht gerade ein triviales Beispiel gefunden hast, dann solltest du damit schon eine passende Folge gefunden haben.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7820
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-24
|
\quoteon(2022-05-24 15:40 - Sekorita in Beitrag No. 2)
Ich muss also eine beliebeige Folge fn finden, die nicht konvergiert und somit keine konvergente Teilfolge besitzt, richtig?
\quoteoff
Hallo Sekorita,
das ist noch nicht richtig. Eine nicht-konvergente Folge kann ja durchaus eine konvergente Teilfolge besitzen.
Tipp: Finde eine Folge stetiger Funktionen, die sich einer Grenzfunktion nähert, die Grenzfunktion aber nicht stetig ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-24
|
Danke an Euch Beide.
Ich muss leider sagen, dass ich nichtmal weiß wie ich bei der Konstruktion meiner Folge anfangen soll..... Ich verstehe, dass eine nicht konvergente Folge eine konvergente Teilfolge haben kann, das Argument war blöd.
Tipp: Finde eine Folge stetiger Funktionen, die sich einer Grenzfunktion nähert, die Grenzfunktion aber nicht stetig ist.
Da verstehe ich leider gerade nicht, wie es mir weiterhilft? Wenn die Grenzfunktion nicht stetig ist, heißt das dann, dass meine Folge fn nicht in allen x aus [o,2] stetig wäre?
Ich wühle mich gerade durch meine Vorlesungen , kann man auch über die Totalbeschränktheit argumentieren? Dann müsste ich ja nur ein fn basteln, bei dem die Funktionen einen Abstand von Epsilon größer 0 haben und somit existieren keine konvergente Teilfolgen und es kann keine Folgenkompaktheit herrschen
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-24
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Du könntest da Anfangen, wo StrgAltEntf und ich dir geraten haben anzufangen. Du musst hier nicht wirklich etwas "konstruieren".
Kennst du aus deiner bisherigen Mathematik-Laufbahn denn eine Folge stetiger Funktionen auf $[0,2]$, die punktweise gegen eine unstetige Funktion konvergiert?
Oder kennst du solch eine Folge, die nichtmal punktweise gegen irgendwas konvergiert?
Bezüglich deiner anderen Frage: Ja, ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-24
|
ich habe das Internet durchforstet und meine Skripte und ÜB.... aber ich habe leider wirklich keine divergierende Funktionenfolge gefunden.....
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-24
|
Hinzukommt, dass ja auch die Bedingung kleiner gleich 4 eingehalten werden muss
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7820
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-24
|
\quoteon(2022-05-24 22:06 - Sekorita in Beitrag No. 7)
ich habe das Internet durchforstet und meine Skripte und ÜB.... aber ich habe leider wirklich keine divergierende Funktionenfolge gefunden.....
\quoteoff
Dann hier mal ein
\showon Spoiler
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_spoiler.png
\showoff
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-24
|
Halte mich jetzt bitte nicht für blöd, aber eine Funktionenfolge fn muss ja dann für alle n >=n_0 divergieren und dabei aber auf jedem x\el\ [0,2] stetig sein. Ich kann jetzt aber keine Funktionfolgen Vorschrift aus deiner Zeichnung rausschreiben, ich habe gerade wirklich ein Brett vorm Kopf....
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7820
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-24
|
\quoteon(2022-05-24 23:05 - Sekorita in Beitrag No. 10)
Halte mich jetzt bitte nicht für blöd, aber eine Funktionenfolge fn muss ja dann für alle n >=n_0 divergieren und dabei aber auf jedem x\el\ [0,2] stetig sein. Ich kann jetzt aber keine Funktionfolgen Vorschrift aus deiner Zeichnung rausschreiben, ich habe gerade wirklich ein Brett vorm Kopf....
\quoteoff
Das rote soll der Funktionsgraph von \(f_n\) (n > 0) sein. \(f_n\) ist dann auf [0,2] definiert und dort stetig.
Außerdem ist die Folge \((f_n)_{n>0}\) punktweise konvergent. D. h. für jedes \(x\in[0,2]\) existiert \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\). Wie lautet die Grenzfunktion?
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25
|
Morgen,
Mittlerweile habe ich auch verstanden wie der Graph für verschiedene n aussehen soll. Ich habe nur meine Probleme die Funktionsgleichung fn aufzuschreiben. Die Grenzfunktion dürfte dann die Nullfunktion sein, oder ?
|
Profil
|
NLPDG_Guy
Aktiv 
Dabei seit: 18.05.2018
Mitteilungen: 22
 | Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-25
|
Hallo Sektoria,
nicht ganz. Schau dir doch mal den linken Rand an. Was passiert dort mit der Funktion im Grenzfall?
Viele Grüße
Maik
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-25
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ich hätte jetzt z.B. an $x\mapsto \cos(nx)$ gedacht.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9498
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-25
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Nochmal dazu:
\quoteon(2022-05-24 13:42 - Sekorita im Themenstart)
Meine Idee für Beschränktheit:
Jedes f aus A ist ja Beschränkt und meine Menge A ist ja gerade die Vereinigung aller f aus diesem A. Da jedes f Beschränkt ist, muss auch die Vereinigung der f Beschränkt sein.
\quoteoff
Wahr oder falsch:
Jede einelementige Teilmenge der reellen Zahlen ist beschränkt, also ist die Vereinigung \( \IR\) auch beschränkt.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
|
Guten Morgen,
Für x >= 1/n ist die Grenzfunktion Nullfunktion
Und für x < 1/1n geht sie gegen 1
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3773
 | Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-26
|
Die Grenzfunktion kann nicht von $n$ abhängen. Sie kann auch nicht von gegen $\infty$ gehen, da für alle $n$ $f_n\le 4$ gilt.
Nachtrag: Inzwischen hast du "gegen $\infty$" gegen "gegen 1" ausgetauscht. Das löst das zweite Problem. Das erste besteht aber noch immer.
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
|
@Wally Gut das macht meine Argumentation zu Nichte
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
|
Also egal welche Funktion der fn ich betrachte sie ist stetig und sie hat punktweisen Limes. Wenn meine Bedingung für die Grenzfunktion nicht von n abhängen darf, wie formuliere ich denn jetzt für welche x fn gegen 1 und gegen 0 konvergiert. Da ja Konvergenz gegen 0 und 1 vorliegt, kann ja die Grenzfunktion nicht stetig sein, korrekt?
Wie ich die Beschränktheit Zeigen soll, weiß ich dann hier ehrlich gesagt auch noch nicht....
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3773
| Beitrag No.20, eingetragen 2022-05-26
|
\quoteon(2022-05-26 09:14 - Sekorita in Beitrag No. 19)
Also egal welche Funktion der fn ich betrachte sie ist stetig und sie hat punktweisen Limes.
\quoteoff
Hier wurden Beispiele genannt, die entweder punktweise gegen eine unstetige Funktion konvergieren (Beitrag Nr. 9) oder die gar nicht konvergieren (Beitrag Nr. 14).
\quoteon(2022-05-26 09:14 - Sekorita in Beitrag No. 19)
Wenn meine Bedingung für die Grenzfunktion nicht von n abhängen darf, wie formuliere ich denn jetzt für welche x fn gegen 1 und gegen 0 konvergiert. \quoteoff
Bilde den den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ und schaue, für welche $x$ dabei $0$ und für welche $x$ dabei $1$ herauskommt. Diese Unterteilung hängt offensichtlich nicht von $n$ ab.
\quoteon(2022-05-26 09:14 - Sekorita in Beitrag No. 19)
Wie ich die Beschränktheit Zeigen soll, weiß ich dann hier ehrlich gesagt auch noch nicht....
\quoteoff
Ist dir klar, was genau du zeigen musst?
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
|
Ok ich versuche es jetzt nochmal:
Also wenn ich mir die gezeichnete Funktion in Beitrag 9 angucke dann müsste wenn ich n gegen \inf betrachte die Funktion für x= 0 gegen 1 konvergieren und für 0 \inf gegen 0 )
Für die Beschränkheit muss ich weil es ja um einen metrischen Raum handelt zeigen, dass die Menge { d(f1(x), f2(x))} beschränkt ist, oder ? d bezeichnet dann hier den Abstand durch die Supremumsnorm. Da aber Jedes maximal den Wert 4 annehmen kann ist der Abstand beschränkt durch <=4 also ist die Menge A beschränkt.
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3773
| Beitrag No.22, eingetragen 2022-05-26
|
\quoteon(2022-05-26 16:24 - Sekorita in Beitrag No. 21)
und für 0 \inf gegen 0 )
\quoteoff
Also meinst du eigentlich "für $0\lt x\le2$ dann gegen $0$".
\quoteon(2022-05-26 16:24 - Sekorita in Beitrag No. 21)
Da aber Jedes maximal den Wert 4 annehmen kann ist der Abstand beschränkt durch <=4 also ist die Menge A beschränkt.
\quoteoff
Die Funktionen, die konstant den Wert $4$ bzw. $-4$ annehmen, haben eine Norm $\le 4$, aber ihr Abstand ist $8$.
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Dann weiß ich leider nicht, wie ich bei der Beschränktheit vorgehen soll. Ich meinte Natürlich 0, sorry Schreibfehler.
Für die Nicht-Kompaktheit:
Nehme ich jetzt einfach mal die Funktionenfolge die vorgeschlagen wurde also cos(nx). Dann konvergiert diese mit n->\inf für x=0 gegen 1 und für 0
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.24, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-05-27 07:14 - Sekorita in Beitrag No. 23)
Für die Nicht-Kompaktheit:
Nehme ich jetzt einfach mal die Funktionenfolge die vorgeschlagen wurde also cos(nx). Dann konvergiert diese mit n->\inf für x=0 gegen 1 und für 0\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Stimmt, der Wert kann maximal -1 erreichen. Jetzt existiert der Grenzwert also nicht. Dann habe ich ja eine Folge Gefunden die nicht konvergiert. Kann ich jetzt einfach annehmen, dass cos(nx) eine Teilfolge einer anderen Folge ist, dann hätte ich ja eine nicht-konvergente Teilfolge gefunden.
Könntest du mir vielleicht auch mit der Beschränktheit behilflich sein ?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.26, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Überlege dir, dass die Folge $(f_n)_n$ keine konvergente Teilfolge besitzen kann.
Zur Beschränktheit kann ich nur nochmal Zippy's Frage wiederholen: Was bedeutet es, dass eine Teilmenge $A$ eines beliebigen normierten Raums $(V,\lVert\cdot\Vert)$ beschränkt ist?
Mathematik ist in der Regel kein reines Ratespiel oder ein "wünsch dir was". Begriffe haben präzise Definitionen und Aussagen gelten nicht einfach, weil man sich wünscht, dass sie gelten, sondern wollen begründet werden.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Sei nun fn:= cos(nx). Die Cosinusfunktion kann minimal den Wert 1 annehmen und maximal den Wert 1 für bel. x \el\ [0,2] , also gilt für den Funktionswert cos(x): -1<=cos(x)<=1.
Dementsprechend gilt auch: -1<=fn(x)<=1 mit fn(x):= cos(nx); n\el\ \IN und x\el\ [0,2]
Betrachte nun bel. Teilfolge f_n_k := cos(knx). Dann gilt für x´:= knx, erneut obige Argumentation, da x \el\ [0,2] bel. war
Zur Beschränktheit:
falls ein C >= 0 existiert mit
norm(f) <= C für alle f \el\ A
Und das ist ja mit norm(f) <= 4 offensichtlich der Fall. Ich meine hier die Supremumsnorm
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.28, eingetragen 2022-05-27
|
Ja, die Beschränktheit passt so.
Deine andere Argumentation verstehe ich nicht. Auf was willst du hinaus? Warum zeigt das, dass es keine konvergente Teilfolge gibt?
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Ok, Abgeschlossenheit, habe ich mit der Dreiecksungleichung auch hinbekommen. Ich dachte, dass mein cos(knx) Teilfolge von cos(nx) ist und ich somit eine nicht konvergente Teilfolge gefunden hätte... Dann weiß ich leider nicht wie ich hier argumentieren soll
Oder:
Es gilt, ja dass jede Folge Teilfolge von sich selbst ist. Da die Folge cos(nx) nicht konvergiert, konvergiert sie ja auch als ihre eigene Teilfolge nicht. Dementsprechend ist das Kriterium der Folgenkompaktheit nicht erfüllt und somit nicht kompakt.
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Oder kann ich folgenderweise argumentieren:
Eine Folge konvergiert, genau dann wenn jede Teilfolge konvergiert.
Das dürfte dann ja äquivalent sein zu
Eine Folge konvergiert nicht, genau dann wenn keine Teilfolge konvergiert
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.31, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-05-27 10:27 - Sekorita in Beitrag No. 29)
Ich dachte, dass mein cos(knx) Teilfolge von cos(nx) ist und ich somit eine nicht konvergente Teilfolge gefunden hätte... Dann weiß ich leider nicht wie ich hier argumentieren soll
\quoteoff
Achso. Aber deine Argumentation zeigt jetzt nicht wirklich, dass $\cos(nx)$ für festes $x\neq 0$ nicht konvergiert, deshalb bin ich verwundert.
\quoteon
Es gilt, ja dass jede Folge Teilfolge von sich selbst ist. Da die Folge cos(nx) nicht konvergiert, konvergiert sie ja auch als ihre eigene Teilfolge nicht. Dementsprechend ist das Kriterium der Folgenkompaktheit nicht erfüllt und somit nicht kompakt.
\quoteoff
Nein, das ist nicht die Folgenkompaktheit. Folgenkompaktheit verlangt nur, dass es eine konvergente Teilfolge gibt und ist folglich nicht verletzt, wenn eine bestimmte Teilfolge nicht konvergiert. \(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Dann weiß ich leider nicht, wie ich ich argumentieren soll.
Das einzige was mir noch einfallen würde, wäre, dass wenn ich cos(nx) betrachte, muss ich ja für norm(f_n-f_m) und n!=m den Abstand beliebig klein machen können , also
norm(f_n-f_m)<\epsilon für bel. \epsilon>0. Dies ist aber um die Cauchy Bedingung zu erfüllen um daraus zu folgern, dass jede Teilfolge konvergiert.
Jetzt möchte ich argumentieren, dass das bei dieser Folge eben nicht geht, bzw. nicht der Fall ist. Ist der Gedankengang richtig und wenn ja, wie beschreibe ich das denn jetzt genau
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1408
Wohnort: Köln
| Beitrag No.33, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Du machst es dir aber auch selbst schwer.
Wenn du nun die Folgenkompaktheit widerlegen willst, dann reicht es eben nicht, wenn du eine Teilfolge angibst, die nicht konvergiert, sondern du musst zeigen, dass keine Teilfolge konvergiert. Daher weiß ich auch nicht, was du nun mit dem Cauchy-Kriterium erreichen willst. Das zeigt dir ja nur, dass unsere Folge keine Cauchy-Folge ist, was wir ohnehin schon wissen, da sie nicht konvergiert und wir in einem Banachraum sind.
Du musst nun von einer beliebigen Teilfolge $(f_{n_k})_k$, d.h. $f_{n_k}(x)=\cos(n_k x)$ zeigen, dass sie nicht gleichmäßig konvergiert.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Sei nun also f_n_k = cos(n_kx ) bel. teilfolge von f_n= cos(nx)
Im metrischen Raum gilt ja, dass die Teil-Folge gleichmäßig gegen f_n konvergiert, wenn für bel. \epsilon > 0 ein k = k(\epsilon) \el\ \IN existiert, sodass
d(f_n_k - f_n) < \epsilon für \epsilon > 0 und bel. f_n_k .
Ich hoffe dieses Kriterium stimmt überhaupt.... Sollte dies stimmen, müsste es dann wenn gleichmäßige Konvergenz herrscht, ein solches f_n als Grenzfunktion geben. Aber zuvor geziegt, dass f_n:= cos(nx) nicht konvergiert, also kann es auch keine sein.
Ich hoffe ich wirbel hier jetzt nicht wieder einfach nur Begriffe zusammen, die keinen Sinn machen....
Ebenfalls weiß ich noch aus dem Skript, dass Die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz äquivalent ist, aber ich glaube nicht das mir das hier hilft
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Ich merke, dass meine Argumentation schwachsinnig klingt... Ich weiß leider nicht wie ich richtig bei der gleichmäßigen Konvergenz argumentieren soll. Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz ist die Existenz einer von x unabhängigen Grenzfunktion f für bel. Epsilon, so dass d(f_n_k - f ) <\epsilon für ein k=k(\epsilon) \el\ \IN
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9498
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.36, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Vielleicht solltest du doch lieber mit dem Gegenbeispiel aus Beitrag 9 arbeiten - da ist es eigentlich viel einfacher.
Und warum du in Beitrag 27 \( \|f_n\|\le 4 \) schreibst, ist auch nicht sehr klar.
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Hallo, die Funktion Beitrag 9 ist ja dann folgender Maßen definiert:
fn(0)=1 und fn(x)=0 für 0
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9498
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.38, eingetragen 2022-05-27
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
In deiner Beschreibung von \( f_n\) kommt kein "\( n\)" vor.
\( f_n\) ist eine Funktion.
\( f_n(x)\) ist eine Zahl, nämlich der Wert von \( f_n\) an der Stelle \( x\).
Die Funktion deines Mitstudierenden ist nicht stetig (vielleicht fehlt was..) Diese Folge konvergiert allerdings gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 232
| Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
Ok, dann weiß ich leider wirklich nicht mehr weiter... Wenn ich die Funktion aus Beitrag 9 nehme, dann gilt doch, dass sie für x= 0 gegen 1 konvergiert und für die x größer 0 und kleiner gleich 2 gegen 0. Jetzt müsste ich ja auch hier zeigen, dass eine beliebte Teilfolge nicht gleichmäßig konvergiert, genauso wie meine Teilfolge bei der Folge fn = cos(nx). Ich weiß leider nicht wie ich Argumentieren soll, dass die Teilfolgen nicht gleichmäßig konvergieren....
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
