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Universität/Hochschule J Koordinatendarstellung eines Differentials
Pathfinder
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  Themenstart: 2022-05-25

Hallo, ich verstehe leider hier nicht, was ich berechnen soll: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_diff.png Was wäre hier der erste Schritt den ich tun muss?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, sei $n\in \mathbb N$ die Dimension von $M$. Wenn du eine Karte $(U,\phi)$ gegeben hast, dann sei $r^i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate eines Punktes im $\mathbb R^n$. Setze dann $x^i\colon U\to \mathbb R, \ x^i(p)=(r^i\circ \phi)(p)$. Für $p\in U$ ist $\mathrm df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R$ eine lineare Abbildung. Mit den lokalen Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ findest du dann eine Basis von $T_pM$ und eine Basis von $T_{f(p)}\mathbb R$. Bezüglich diesen Basen sollst du $\mathrm df_p$ durch eine Matrix beschreiben. Du könntest es auch so sehen, dass $\mathrm df_p$ ein Element des Kotangentialraums $T^*_pM$ ist. Mit Hilfe der gefunden Basis für $T_pM$ könntest du $\mathrm df_p$ auch in der dazu dualen Basis für $T^*_pM$ darstellen. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wenn dir das am Anfang zu kompliziert ist, dann hindert dich niemand daran, zunächst den Fall $M=\mathbb R^n$ mit der Karte $(\mathbb R^n,\opn{id}_{\mathbb R^n})$ zu betrachten. Dann sind die oben beschriebenen lokalen Koordinaten sogar globale Koordinaten - eben gerade die bekannten kartesischen Koordinaten. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-25 14:28 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, sei $n\in \mathbb N$ die Dimension von $M$. Wenn du eine Karte $(U,\phi)$ gegeben hast, dann sei $r^i\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate eines Punktes im $\mathbb R^n$. Setze dann $x^i\colon U\to \mathbb R, \ x^i(p)=(r^i\circ \phi)(p)$. Für $p\in U$ ist $\mathrm df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R$ eine lineare Abbildung. Mit den lokalen Koordinaten $x^1,\dots,x^n$ findest du dann eine Basis von $T_pM$ und eine Basis von $T_{f(p)}\mathbb R$. Bezüglich diesen Basen sollst du $\mathrm df_p$ durch eine Matrix beschreiben. Du könntest es auch so sehen, dass $\mathrm df_p$ ein Element des Kotangentialraums $T^*_pM$ ist. Mit Hilfe der gefunden Basis für $T_pM$ könntest du $\mathrm df_p$ auch in der dazu dualen Basis für $T^*_pM$ darstellen. LG Nico \quoteoff Okay danke [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-26 12:44 - nzimme10 in Beitrag No. 2) Wenn dir das am Anfang zu kompliziert ist, dann hindert dich niemand daran, zunächst den Fall $M=\mathbb R^n$ mit der Karte $(\mathbb R^n,\opn{id}_{\mathbb R^n})$ zu betrachten. Dann sind die oben beschriebenen lokalen Koordinaten sogar globale Koordinaten - eben gerade die bekannten kartesischen Koordinaten. LG Nico \quoteoff Ich werde mit den Definitionen jetzt mal rumprobieren


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