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  DGL 2.Ordnung komplexe Nullstellen |
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marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
 |  Themenstart: 2022-05-27
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hallo, hier als die nächste kleine für mich aber mittelgroße Herausforderung eine DGL 2.ter ordnung mit Störfunktion
u''(x) +2u'(x) +2(u) =x^2 gut ich geb es mal in den Editor ein
\
u''(x)+u'2(u)+ 2(u)= x^2 zuerst rehnet man ja den sogenannten homogenen Teil.
\lambda^2+2\lambda+2=0
ergibt (-2+-sqrt(4-4*1*2))/2 nun habe ich plötzlich zwei komplexe Lösungen
-2+2i und -2-2i dies wird im Ansatz der homogenen Lösung zu
c_1*e^(-2x)*sin(2x)+c_2*e^(-2x)*cos(2x)
nun gehe ich zu der partikulären Lösung
da x^2 führe ich einen quadratischen Ansatz durch
u_p=Ax^2+Bx+C leite 2 mal ab
u_p'=2Ax+B
u_p''=2A
dann setze ich ein
2A+2(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C) = x^2
erst sortieren
x^2(2A)+x(4A+2B)+(2A+2B+2C) =x^2 Koeffizientenvergleich ergibt
A=1
4A+2B = 0
2A+2B+2C=0 führt uns zu
A=1/2
B=-1
C=1/2
partikuläre Lösung
u_p=1/2*x^2+1*x+ 1/2 ergibt schließlich die homogene und die Partikuläre
c_1*e^(-2x)*sin(2x)+c_2*e^(-2x)*cos(2x)+1/2*x^2+1*x+ 1/2
wahrscheinlich wieder mehrere Fahler eingebaut wenn nur der Ansatz soweit halbwegs richtig wäre
1000 Dank wie immer im Voraus
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-27
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Huhu,
das sieht doch nicht so schlecht aus. Zwei Anmerkungen:
1. Deine Lösungen der quadratischen Gleichung stimmen nicht - du hast vergessen durch 2 zu dividieren.
2. Du hast doch \(B=-1\) herausbekommen, dann musst du in der partikulären Lösung auch ein Minuszeichen schreiben.
Gruß,
Küstenkind
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von Kuestenkind]
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4730
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-28
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Hallo marathon,
ob die Lösung korrekt ist kannst du auch selber überprüfen, indem du die Ableitungen bildest und in die DGL einsetzt :)
Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz
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marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28
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Danke für den Response
mir war nur nicht 100% klar warum ich dies war wohl gemeint die
-2+i respektive -2 -i nochmal teilen muss sicher dies ist möglich aber auch zwingend notwendig--- aber natürlich nur so gefragt. Bin ja sehr dankbar das sich jemand überhaupt die Mühe macht. Dies mit den einzusetzenden Ableitungen zur Kontrolle mach ich nachher noch.....
MFG Markus
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo marathon,
\quoteon(2022-05-28 14:13 - marathon in Beitrag No. 3)
mir war nur nicht 100% klar warum ich dies war wohl gemeint die
-2+i respektive -2 -i nochmal teilen muss...
\quoteoff
Weil die Formel (die "Mitternachtsformel") so lautet, ganz einfach. Du hast dich jedoch mit dem Zähler des Terms
\[\frac{-2\pm 2i}{2}\]
zufrieden gegeben. Der liefert aber nicht die Lösungen der charakteristischen Gleichung. Und die benötigst du hier ja.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29
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Danke an alle!!!poste gleich die nächste!!!!!
Euer Markus
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