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Analysis » Integration » erfc(x) bei Verteilungsfunktion der Normalverteilung
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Universität/Hochschule J erfc(x) bei Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-05-29

Folgende Rechnung liegt für die Verteilungsfunktion vor $$F_x(x) = \int_{-\infty}^{x}{1\over \sqrt{2\pi}\sigma_x}\exp{\left(-\frac{(\lambda-m_x)^2}{2\sigma^2_x}\right)} d\lambda \qquad (1)$$ Nach Substituion mit $\gamma = {\lambda-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}$, $d\lambda = \sqrt{2}\sigma_x d\gamma$ folgt für die Verteilungsfunktion $$F_X(x) = {1\over\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{{x-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}} \exp{\left(-\gamma^2\right)}d\gamma\qquad (2)$$ Und hier ist man, was ich nicht verstehe, mit Hilfe der Beziehungen $\operatorname{erfc}(-\infty) = 2$ und $\operatorname{erfc}(-x) = 2-\operatorname{erfc}(x)$ auf folgendes Integral gekommen $$F_X(x) = {1\over 2}\left(2 - {2\over\sqrt{\pi}}\int_{{x-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}}^{\infty}\exp{\left(-\gamma^2\right)}\right)d\gamma\qquad(3)$$ Das Erweitern mit ${2\over 2}$ konnte ich noch nachvollziehen aber bei den Integrationsgrenzen ist bei mir schon Schluss, wie aus der $-\infty$ $+\infty$ geworden ist. Wenn ich die Integrationsgrenzen tauschen möchte, dann behalte ich doch das Vorzeichen der Grenzen oder? Und wie ist die zusätzliche $2$ dazu gekommen? Kurz, wie ist man von $(2)\to (3)$ vorgegangen?


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Benutze $$ 1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(- \gamma^2) \ \dd \gamma = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{{x-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}} \exp{(-\gamma^2)} \ \dd\gamma + \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{\frac{x-m_x}{\sqrt2 \sigma_x}}^{\infty} \exp(-\gamma^2) \ \dd \gamma. $$\(\endgroup\)


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29

Müsste ich dann nicht nochmal $-1$ rechnen? Oder meinst du die $1$ auf dem Zähler, vor dem Integral bei $(2)$? Wo setze ich die $1$ aus deinem Beitrag ein?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-29

Hm, ich bin mir sicher, was du meinst. Setze mal die rechten Seiten gleich und forme sie um, vielleicht siehst du es dann. Eventuell verwirren dich auch die langen Formeln, dann könnte es hilfreich sein, Namen für diese Integrale einzuführen.


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-29

Achso😃. Du meinst ich soll das aus deinem Beitrag \quoteon(2022-05-29 15:57 - Kezer in Beitrag No. 1) Benutze $$ 1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(- \gamma^2) \ \dd \gamma = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{{x-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}} \exp{(-\gamma^2)} \ \dd\gamma + \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{\frac{x-m_x}{\sqrt2 \sigma_x}}^{\infty} \exp(-\gamma^2) \ \dd \gamma. $$ \quoteoff so umformen, dass daraus, das Integral aus $(2)$ herauskommt. Bei "Benutze...", bin ich nicht darauf gekommen aber dazu hat mir die nötige Weitsicht gefehlt. Ich bin davon ausgegangen, dass ich das so irgendwo einsetzen muss oder mit $+1$ und $-1$ erweitern, also Erweitern mit $0$ in $(2)$ ergänzen muss. Aber gut. Dann komme ich, ausgehend vom Themenstart $$F_X(x) = {1\over \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{{x-m_x\over \sqrt{2}\sigma_x}}\exp{\left(-\gamma^2\right)}d\gamma \qquad (2)$$ und das wäre, mit Hilfe von deinem Beitrag umgeformt nach $(2)$ $$F_X(x) = 1 - {1\over \sqrt{\pi}}\int_{{x-m_x\over\sqrt{2}\sigma_x}}^{\infty}\exp{\left(-\gamma^2\right)}d\gamma$$ Jetzt kann ich das Integral mit $2/2$ erweitern und dann komme ich auch auf das Ergebnis $$F_X(x) = {1\over 2} \operatorname{erfc}\left(-{x-m_x\over \sqrt{2}\sigma_x}\right)$$ Vielen Dank, für deine Hilfe 🙂


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