| |
| Autor |
 Beweis - Ansatzmethode für Differentialgleichungen |
|
OnkelRiemann
Junior 
Dabei seit: 29.05.2022
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-05-30
|
Aufgabenstellung:
Sei $p(T) \in \mathbb{C}[T]$. Zeigen Sie: Ist $q(T) \in \mathbb{C}[T]$ ein Polynom vom Grad $n$ und $\alpha \in \mathbb{C}$ eine $l$-fache Nullstelle von $p$ für ein $l \geqslant 0$, so führt der Ansatz $y_{\text {part }}=$ $Q(x) x^{l} \mathrm{e}^{\alpha x}$ für ein Polynom $Q[T] \in \mathbb{C}[T]$ vom Grad $n$ zu einer partikularen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
$$
p(D)(y)=q(x) \mathrm{e}^{\alpha x}
$$
$\mathrm{D}$ steht hier für den Differentialoperator.
Bisher habe ich:
Seien $a_{k}=b_{i}=c_{i} = 0$ für $k>m$ und $i > n$.
Wir schreiben
$$
\begin{align*}
p( \mathrm{D}) = \sum_{k = 0}^{m} a_{k}\mathrm{D}^{k}
, \quad
q( x) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k}x^{k}, \quad
Q( x) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k}x^{k}
.\end{align*}
$$
Es ergibt sich
$$
\begin{align*}
p( \mathrm{D})y_{\text{part}}
&= \left( \sum_{k = 0}^{m} a_{k}\mathrm{D}^{k}\right)
\left( \sum_{k = 0}^{n} c_{k}x^{k+ l}e^{\alpha x}\right)
\\
&=
\sum_{k = 0}^{m} a_{k}
\sum_{j = 0}^{n} \mathrm{D}^{k} c_{j}x^{j + l}e^{\alpha x}
\\
&= \sum_{k = 0}^{m} a_{k}
\sum_{j = 0}^{n} c_{j} \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i}\frac{( j + l)! }{( j + l - i)!}\alpha ^{k - i} x^{j + l - i}
e^{\alpha x}
\\
&=
\sum_{k = 0}^{m} a_{k}
\sum_{j = l}^{n + l}
c_{j} \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i}\frac{j! }{( j- i)!}\alpha ^{k - i} x^{j - i}
e^{\alpha x}
.\end{align*}
$$
Mein weiteres Vorgehen wäre jetzt einen Ausdruck für den Koeffizienten von $x^i e^{\alpha x}$ zu finden, und dann mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten ein lineares Gleichungssystem herzuleiten und dessen Lösbarkeit zu beweisen. Das wirkt für mich auf den ersten Blick aber recht aufwendig, deshalb wollte ich erfragen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin.
|
 Profil
|
semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-31
|
Moin OnkelRiemann,
deine Ideen und Vorgehensweise sind richtig (in der letzten Zeile deiner Gleichungskette müsste es nur $c_{j-l}$ statt $c_j$ heißen) und man muss bei diesem Beweis auch etwas mit Indizes jonglieren, da kommt man nicht drum herum. Man kann das Ganze nur noch etwas übersichtlicher aufziehen, indem man nicht gleich für das Polynom $Q(x)$ einsetzt, womit man immer nur mit Doppel- statt Dreifachsummen hantieren muss und womit sich etwas übersichtlicher die Eigenschaft von $\alpha$, eine $l$-fache Nullstelle von $p(X)$ zu sein, ausnutzen lässt.
Mit meiner Empfehlung wird die erste Zeile deiner Gleichungskette zu
\[q(x) e^{\alpha x} = (p(D)y_{\text{part}})(x) = \sum_{k = 0}^m a_k D^k(Q(x) x^l e^{\alpha x}) \\ = \sum_{k = 0}^m a_k \sum_{i = 0}^k \binom{k}{i} D^i(Q(x) x^l) \alpha^{k-i} e^{\alpha x},\]
also
\[\sum_{k = 0}^m a_k \sum_{i = 0}^k \binom{k}{i} D^i(Q(x) x^l) \alpha^{k-i} = q(x).\]
Vertausche in der obigen Doppelsumme jetzt die Summationsreihenfolge und überlege dir, wozu sich die resultierende innere Summe über $k$ zusammenfassen lässt und was sich daraus ergibt (Hinweis: $\alpha$ ist $l$-fache Nullstelle von $p(X)$.).
Wende dann die Leibnizregel nochmal an, um $D^i(Q(x) x^l)$ zu expanden und ordne schließlich die entstehende Doppelsumme nach Potenzen von $x$ zwecks Koeffizientenvergleich. Die Koeffizientenmatrix des entstehenden LGS hat dabei eine ziemlich einfache Form, aus der sich die Existenz eines eindeutigen $Q(x)$ direkt ergibt.
LG,
semasch
|
Profil
|
OnkelRiemann
Junior
Dabei seit: 29.05.2022
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31
|
\quoteon(2022-05-31 08:54 - semasch in Beitrag No. 1)
Moin OnkelRiemann,
deine Ideen und Vorgehensweise sind richtig (in der letzten Zeile deiner Gleichungskette müsste es nur $c_{j-l}$ statt $c_j$ heißen) und man muss bei diesem Beweis auch etwas mit Indizes jonglieren, da kommt man nicht drum herum. Man kann das Ganze nur noch etwas übersichtlicher aufziehen, indem man nicht gleich für das Polynom $Q(x)$ einsetzt, womit man immer nur mit Doppel- statt Dreifachsummen hantieren muss und womit sich etwas übersichtlicher die Eigenschaft von $\alpha$, eine $l$-fache Nullstelle von $p(X)$ zu sein, ausnutzen lässt.
Mit meiner Empfehlung wird die erste Zeile deiner Gleichungskette zu
\[q(x) e^{\alpha x} = (p(D)y_{\text{part}})(x) = \sum_{k = 0}^m a_k D^k(Q(x) x^l e^{\alpha x}) \\ = \sum_{k = 0}^m a_k \sum_{i = 0}^k \binom{k}{i} D^i(Q(x) x^l) \alpha^{k-i} e^{\alpha x},\]
also
\[\sum_{k = 0}^m a_k \sum_{i = 0}^k \binom{k}{i} D^i(Q(x) x^l) \alpha^{k-i} = q(x).\]
Vertausche in der obigen Doppelsumme jetzt die Summationsreihenfolge und überlege dir, wozu sich die resultierende innere Summe über $k$ zusammenfassen lässt und was sich daraus ergibt (Hinweis: $\alpha$ ist $l$-fache Nullstelle von $p(X)$.).
Wende dann die Leibnizregel nochmal an, um $D^i(Q(x) x^l)$ zu expanden und ordne schließlich die entstehende Doppelsumme nach Potenzen von $x$ zwecks Koeffizientenvergleich. Die Koeffizientenmatrix des entstehenden LGS hat dabei eine ziemlich einfache Form, aus der sich die Existenz eines eindeutigen $Q(x)$ direkt ergibt.
LG,
semasch
\quoteoff
Liege ich richtig, dass es sich dann um eine linke untere Dreiecksmatrix handelt?
|
Profil
|
semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-31
|
Nicht ganz, aber ähnlich, es sollte nämlich eine rechte obere Dreiecksmatrix sein.
LG,
semasch
|
Profil
|
OnkelRiemann hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
OnkelRiemann hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
