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 Kartesisches Produkt mit Multiplikation 2er leeren Mengen |
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Matztias
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 30.04.2022
Mitteilungen: 29
 |  Themenstart: 2022-06-01
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Zu folgender Aufgabe habe ich auch noch eine Frage:
{} X Potenzmenge({2,b,c})
= {} X {{},{2},{b},{c}{2,b}{b,c}{2,c}{2,b,c}}
= {({},{}),({},{2}),({},{b}),({},{c}),({},2,b),({},b,c),({},2,c),({},2,b,c)}
Gehe ich hier richtig vor indem ich prinzipiell erstmal "Mengen in Tupel stecke"?
Und kann ich durch das kartesische Produkt aus zweimal der leeren Menge den Tupel ({},{}) (wie in der Lösung) bilden?
Viele Grüße
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Qing
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Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-01
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Hallo,
\quoteon
kann ich durch das kartesische Produkt aus zweimal der leeren Menge den Tupel ({},{}) (wie in der Lösung) bilden?
\quoteoff
Frage an dich: Was ist für eine beliebige Menge $X$ das Produkt:
$\emptyset\times X$?
Kannst du deine Antwort beweisen?
Was ist dann $\emptyset\times\emptyset$ für eine Menge?
Im Vorfeld solltest du dir klarmachen wie das kartesische Produkt definiert ist. Also die Definition nachschlagen und sauber aufschreiben.
\quoteon
"Mengen in Tupel stecke"?
\quoteoff
Das ist natürlich schlecht formuliert.
Wenn du obige Frage beantworten kannst, beantwortet sich auch deine Frage.
Der Kern ist, dass dir klar ist wie du hier den formalen Beweis zu führen hättest, wenn du deine Antwort (oder Vermutung) gefunden hast.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-01
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
EDIT: hier stand etwas völlig falsches, sorry. Beachte den Hinweis von Qing!
Insbesondere ist \(\emptyset=\lbrace\rbrace\neq\lbrace\emptyset\rbrace\).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Matztias
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:20 - Qing in Beitrag No. 1)
Hallo,
\quoteon
kann ich durch das kartesische Produkt aus zweimal der leeren Menge den Tupel ({},{}) (wie in der Lösung) bilden?
\quoteoff
Frage an dich: Was ist für eine beliebige Menge $X$ das Produkt:
$\emptyset\times X$?
Kannst du deine Antwort beweisen?
Was ist dann $\emptyset\times\emptyset$ für eine Menge?
Im Vorfeld solltest du dir klarmachen wie das kartesische Produkt definiert ist. Also die Definition nachschlagen und sauber aufschreiben.
\quoteon
"Mengen in Tupel stecke"?
\quoteoff
Das ist natürlich schlecht formuliert.
Wenn du obige Frage beantworten kannst, beantwortet sich auch deine Frage.
Der Kern ist, dass dir klar ist wie du hier den formalen Beweis zu führen hättest, wenn du deine Antwort (oder Vermutung) gefunden hast.
\quoteoff
Vielen Dank für deine Antwort!
Okay, also prinzipiell ergibt ein kartesisches Produkt in dem die leere Menge beteiligt ist als eigenständige Menge wieder die leere Menge.
Das heißt, dass Ergebnis müsste hier also einfach nur die leere Menge sein, oder?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Matztias
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:23 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo,
EDIT: hier stand etwas völlig falsches, sorry. Beachte den Hinweis von Qing!
Insbesondere ist \(\emptyset=\lbrace\rbrace\neq\lbrace\emptyset\rbrace\).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
oh, danke für die Korrektur, ich war schon kurz verwirrt
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Matztias
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:20 - Qing in Beitrag No. 1)
Hallo,
\quoteon
kann ich durch das kartesische Produkt aus zweimal der leeren Menge den Tupel ({},{}) (wie in der Lösung) bilden?
\quoteoff
Frage an dich: Was ist für eine beliebige Menge $X$ das Produkt:
$\emptyset\times X$?
Kannst du deine Antwort beweisen?
Was ist dann $\emptyset\times\emptyset$ für eine Menge?
Im Vorfeld solltest du dir klarmachen wie das kartesische Produkt definiert ist. Also die Definition nachschlagen und sauber aufschreiben.
\quoteon
"Mengen in Tupel stecke"?
\quoteoff
Das ist natürlich schlecht formuliert.
Wenn du obige Frage beantworten kannst, beantwortet sich auch deine Frage.
Der Kern ist, dass dir klar ist wie du hier den formalen Beweis zu führen hättest, wenn du deine Antwort (oder Vermutung) gefunden hast.
\quoteoff
Bei den Tupeln bin ich ehrlich gesagt leider nicht so richtig weiter gekommen.
Prinzipiell besagt das kartesische Produkt ja, dass man eine neue Menge aus zwei gegebenen Mengen produziert, aber spricht das dagegen, die enthaltenen Mengen in Tupel zu packen?
Ich würde für dieser Frage das Beispiel nochmal abändern und folgende Aufgabe mit meiner Vermutung als Lösung nehmen:
{a} X {{b},{c}}
wäre meine Vermutung richtig?:
= {{a,b},{a,c}}
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Qing
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon
Das heißt, dass Ergebnis müsste hier also einfach nur die leere Menge sein, oder?
\quoteoff
Das heißt, dass deine Vermutung ist, dass
$\emptyset\times X=\emptyset$.
Da du deinen Satz mit einem Fragezeichen beendest, scheinst du dir unsicher zu sein.
Um es haargenau zu wissen, brauchen wir einen Beweis (wenn die Aussage stimmt), oder ein Gegenbeispiel (wenn wir zeigen wollen, dass die Vermutung nicht stimmt).
Für einen Beweis müssen wir die involvierten Definitionen klären.
Also wie ist das kartesische Produkt zweier Mengen definiert?
Was bedeutet die Formulierung dann für die leere Menge.
Wir haben also
$\emptyset\times X=\{(?,?): ?\in ? \text{ und } ?\in ?\}$.
Kannst du die Fragezeichen sinnvoll ersetzen indem du dich an die Definition des kartesischen Produktes hältst?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-06-01 18:43 - Matztias in Beitrag No. 5)
Bei den Tupeln bin ich ehrlich gesagt leider nicht so richtig weiter gekommen.
Prinzipiell besagt das kartesische Produkt ja, dass man eine neue Menge aus zwei gegebenen Mengen produziert, aber spricht das dagegen, die enthaltenen Mengen in Tupel zu packen?
Ich würde für dieser Frage das Beispiel nochmal abändern und folgende Aufgabe mit meiner Vermutung als Lösung nehmen:
{a} X {{b},{c}}
wäre meine Vermutung richtig?:
= {{a,b},{a,c}}
\quoteoff
Das mit den Tupeln wäre prinzipiell schon richtig (und das obige ergibt keinen Sinn, denn diese Menge besteht nicht aus Paaren). Die entscheidende Frage ist hier wie gesagt die: was ist \(\emptyset\times X\) für eine beliebige Menge \(X\)?
Du solltest dir die Definition insbesondere des kartesischen Produkts nochmal zu Gemüte führen.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)
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Matztias
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:47 - Qing in [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\quoteoff
eigentlich bin ich mir sicher, dass das Ergebnis die leere Menge sein muss.
hmm das mit den Fragezeichen ersetzen fällt mir gerade wegen der leeren Menge schwer.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Qing
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon
{a} X {{b},{c}}
wäre meine Vermutung richtig?:
= {{a,b},{a,c}}
\quoteoff
Grundsätzlich ist das schon richtig. Dabei gehe ich davon aus, dass du anstelle der Mengenklammern die "Tupelklammern", also Runde meinst.
Das Beispiel hat aber, wie Diophant schon gesagt hat, wenig mit deiner Aufgabe zu tun, und ist da etwas irreführend.
Du musst das so sehen. Mit der Aufgabe stellt man euch eine kleine Falle.
Der Lerneffekt soll sein genau zu lesen, und sich strikt an Definitionen zu halten, und diese richtig zu interpretieren, auch wenn es ungewöhnlich aussieht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Qing
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon
hmm das mit den Fragezeichen ersetzen fällt mir gerade wegen der leeren Menge schwer.
\quoteoff
Mach einfach mal. :)
Was würdest du denn einsetzten, wenn du $A\times B$ hättest, anstelle $\emptyset\times X$.
Wenn du auch noch beschreiben kannst, warum du die Fragezeichen einsetzen hier "schwer" findest, bzw. du dich dagegen eventuell etwas sträubst, hast du auch schon was gelernt, wenn du da deine Probleme benennen kannst.
Als nächstes klären wir dann, weshalb es gar kein Problem gibt.
Das ist hier wie gesagt das Lernziel.
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Matztias
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:53 - Qing in Beitrag No. 10)
\quoteon
hmm das mit den Fragezeichen ersetzen fällt mir gerade wegen der leeren Menge schwer.
\quoteoff
Mach einfach mal. :)
Was würdest du denn einsetzten, wenn du $A\times B$ hättest, anstelle $\emptyset\times X$.
Wenn du auch noch beschreiben kannst, warum du die Fragezeichen einsetzen hier "schwer" findest, bzw. du dich dagegen eventuell etwas sträubst, hast du auch schon was gelernt, wenn du da deine Probleme benennen kannst.
Als nächstes klären wir dann, weshalb es gar kein Problem gibt.
Das ist hier wie gesagt das Lernziel.
\quoteoff
A X B wäre = {(a,b) | a \el\ A, b \el\ B}
hmm dann wäre \0 X A = {(?,a) | ? \el\ \0,a \el\ A}
Bei den letzten 2 Fragezeichen weiß ich nicht weiter
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Qing
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-01
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Was hält dich davon ab
$\emptyset\times A=\{(x,a): x\in\emptyset\text{ und }a\in A\}$ zu schreiben?
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Matztias
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:00 - Qing in Beitrag No. 12)
Was hält dich davon ab
$\emptyset\times A=\{(x,a): x\in\emptyset\text{ und }a\in A\}$ zu schreiben?
\quoteoff
weil es bisher nur eine Vermutung war ^^
hmm, aber es gibt doch kein x das Element der leeren Menge ist, oder?
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 18:51 - Qing in Beitrag No. 9)
\quoteon
{a} X {{b},{c}}
wäre meine Vermutung richtig?:
= {{a,b},{a,c}}
\quoteoff
Grundsätzlich ist das schon richtig. Dabei gehe ich davon aus, dass du anstelle der Mengenklammern die "Tupelklammern", also Runde meinst.
\quoteoff
Nein, auch {a} X {{b}, {c}} = {(a, b), (a, c)} ist nicht richtig.
Vielmehr gilt {a} X {{b}, {c}} = {(a, {b}), (a, {c})}
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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Qing
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon
hmm, aber es gibt doch kein x das Element der leeren Menge ist, oder?
\quoteoff
Ja richtig, und deshalb sträubt man sich davor sowas "sinnloses" wie $x\in\emptyset$ hinzuschreiben, weil das ist ja offensichtlich falsch.
Fakt ist aber, dass es total sinnvoll ist $x\in\emptyset$ zu schreiben.
Wir wollen das Wesen der leeren Menge mal mit den zwei weiteren Fragen näher ergründen:
Sind die folgenden Sätze richtig, oder falsch?
1. Alle pinken Einhörner sind blau.
2. Alle Elemente der leeren Menge sind pinke Einhörner.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
Edit: @strgaltentf: Upps, sorry. Ich habe $\{a\}\times \{b,c\}$ gelesen...
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Matztias
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:06 - Qing in Beitrag No. 15)
\quoteon
Sind die folgenden Sätze richtig, oder falsch?
1. Alle pinken Einhörner sind blau.
2. Alle Elemente der leeren Menge sind pinke Einhörner.
\quoteoff
ähm beides falsch ^^
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Matztias
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 29
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 14)
Nein, auch {a} X {{b}, {c}} = {(a, b), (a, c)} ist nicht richtig.
Vielmehr gilt {a} X {{b}, {c}} = {(a, {b}), (a, {c})}
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\quoteoff
Dankeschön!
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
 | Beitrag No.18, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:18 - Matztias in Beitrag No. 16)
\quoteon(2022-06-01 19:06 - Qing in Beitrag No. 15)
\quoteon
Sind die folgenden Sätze richtig, oder falsch?
1. Alle pinken Einhörner sind blau.
2. Alle Elemente der leeren Menge sind pinke Einhörner.
\quoteoff
\quoteoff
ähm beides falsch ^^
\quoteoff
Du bekommst einen zweiten Versuch.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
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Matztias
Wenig Aktiv
Dabei seit: 30.04.2022
Mitteilungen: 29
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:20 - tactac in Beitrag No. 18)
\quoteon(2022-06-01 19:18 - Matztias in Beitrag No. 16)
\quoteon(2022-06-01 19:06 - Qing in Beitrag No. 15)
\quoteon
Sind die folgenden Sätze richtig, oder falsch?
1. Alle pinken Einhörner sind blau.
2. Alle Elemente der leeren Menge sind pinke Einhörner.
\quoteoff
\quoteoff
ähm beides falsch ^^
\quoteoff
Du bekommst einen zweiten Versuch.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
\quoteoff
ohman, dann ist der 2. Satz wohl richtig? Aber das verstehe ich jetzt nicht ganz
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
| Beitrag No.20, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:22 - Matztias in Beitrag No. 19)
\quoteon(2022-06-01 19:20 - tactac in Beitrag No. 18)
\quoteon(2022-06-01 19:18 - Matztias in Beitrag No. 16)
\quoteon(2022-06-01 19:06 - Qing in Beitrag No. 15)
\quoteon
Sind die folgenden Sätze richtig, oder falsch?
1. Alle pinken Einhörner sind blau.
2. Alle Elemente der leeren Menge sind pinke Einhörner.
\quoteoff
\quoteoff
ähm beides falsch ^^
\quoteoff
Du bekommst einen zweiten Versuch.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
\quoteoff
ohman, dann ist der 2. Satz wohl richtig? Aber das verstehe ich jetzt nicht ganz
\quoteoff
Ja, der zweite Satz ist richtig, denn wir wissen, dass es keine Elemente der leeren Menge gibt. (Per Definition.) Wo hakt es beim Verstehen?
Ob der erste richtig ist, hängt von der Welt ab.
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Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-01
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Tatsächlich sind beide Sätze richtig.
Das Ding ist, dass damit der erste Satz falsch ist, müsstest du mir ja ein pinkes Einhorn zeigen, welches nicht blau ist.
Du kannst mir aber schon kein pinkes Einhorn zeigen. Denn die gibt es ja gar nicht.
Deshalb ist der Satz richtig, weil er eben nicht falsch sein kann. Ein Gegenbeispiel existiert nicht.
Mehr oder weniger aus dem gleichen Grund ist der zweite Satz richtig.
Damit der Satz falsch ist, müsstest du mir ein Element aus der leeren Menge angeben können, welches kein pinkes Einhorn ist, aber die leere Menge hat ja gar keine Elemente.
Deshalb sind solche All-Aussagen über die leere Menge immer richtig.
Kannst du selber ein lustiges Beispiel für einen solchen Satz hinschreiben?
Es ist halt nicht falsch über Elemente der leeren Menge zu sprechen, auch wenn diese keine hat.
Sowas wie $x\in\emptyset$ ist völlig legitim.
Was ist denn nun mit $\emptyset\times A$?
Ist das leer? Oder vielleicht doch $A$?
Kannst du deine Aussage beweisen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
| Beitrag No.22, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 19:35 - Qing in Beitrag No. 21)
Tatsächlich sind beide Sätze richtig.
Das Ding ist, dass damit der erste Satz falsch ist, müsstest du mir ja ein pinkes Einhorn zeigen, welches nicht blau ist.
\quoteoff
Die Nichtexistenz von pinken Einhörnern ergibt sich aber keineswegs rein logisch. Sie ergäbe sich allerhöchstens, wenn man ein Axiom veranschlagen würde (was aber dann auch nicht "rein logisch" ist), das sagt, Einhörner seien nie pink (o.ä.). Insgesamt bewirken solche Versuche und Diskussionen darum aber nicht viel. Deshalb gibt es ja so Themengebiete wie "Modelltheorie"! Letztere beschäftigt sich m.o.w.u.a. mit der Frage, wie gut die möglichen Welten festgenagelt werden können. 😉
Positiv an der Attitüde ist natürlich, dass sie Falsifizierbarkeit offenbart. Sie spielt in der Mathematik zwar keine große Rolle, aber andererseits geht's wohl auch nicht um Mathematik, wenn all zu freimütig behauptet wird, pinke Einhörner würden nicht existieren.
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Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.23, eingetragen 2022-06-01
|
Danke für deinen Beitrag, und ich stimme dir natürlich zu.
Ich mein, eventuell existieren auf irgendeinem Planeten im Universum (oder irgendeinem parallel Universum) ja doch pinke Einhörner, das weiß ich natürlich nicht.
Das Beispiel ist natürlich witzig gemeint, und soll ja auch eine bewusste Fangfrage sein, die sich meiner Ansicht nach deshalb besonders gut einprägt und die Probleme die man mit der leeren Menge so haben kann, doch eigentlich ganz gut beseitigt.
Edit: Vielleicht muss ich beim nächsten mal fragen, ob alle pinken Einhörner auf dem Planeten Erde blau sind, um zu gucken ob das immer noch funktioniert.
Da durchschaut man den Fallstrick aber zu einfach...
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
| Beitrag No.24, eingetragen 2022-06-01
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Ja, ich wollte auch nur auf einen entscheidenden Unterschied hinweisen: Dass die leere Menge keine Elemente hat, ist völlig klar; dass es keine pinken Einhörner gibt ist, im Vergleich, nicht im Geringsten so klar.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8275
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.25, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 22:40 - tactac in Beitrag No. 24)
Dass die leere Menge keine Elemente hat, ist völlig klar
\quoteoff
Aber, es könnte ja sein, dass die Mengenlehre insgesamt widersprüchlich ist, und ein Winkeldreiteiler findet dann doch ein Element der leeren Menge 😁 *scnr*
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2789
| Beitrag No.26, eingetragen 2022-06-01
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\quoteon(2022-06-01 22:45 - StrgAltEntf in Beitrag No. 25)
\quoteon(2022-06-01 22:40 - tactac in Beitrag No. 24)
Dass die leere Menge keine Elemente hat, ist völlig klar
\quoteoff
Aber, es könnte ja sein, dass die Mengenlehre insgesamt widersprüchlich ist, und ein Winkeldreiteiler findet dann doch ein Element der leeren Menge 😁 *scnr*
\quoteoff
Es "gilt" dann eben beides. So einfach ist das manchmal. 😁
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