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Analysis » Integration » Faltung zweier Funktionen
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Universität/Hochschule Faltung zweier Funktionen
lilly2108
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  Themenstart: 2022-06-08

Angenommen man hat die zwei Indikator-Funktionen $f(x):=\mathbb{1}_{[0,\infty]}(x)$ und $g_{\epsilon}:=\frac{1}{\epsilon}\mathbb{1}_{[0,\epsilon]}(x)$ gegeben und faltet diese. Warum ergibt sich dann die Abschätzung $f\ast g_{\epsilon}(x)\leq f(x)\leq f\ast g_{\epsilon}(x+\epsilon)$? Wenn ich $f\ast g_{\epsilon}(x)$ und $f\ast g_{\epsilon}(x+\epsilon)$ ausrechne, ergibt sich immer die 1, also müsste da nicht Gleichheit stehen?😖 Weil: $f\ast g_{\epsilon}(x)=\int f(\tau)g_{\epsilon}(x-\tau)d\tau =\int \mathbb{1}_{[0,\infty]}(\tau)\frac{1}{\epsilon}\mathbb{1}_{[0,\epsilon]}(x-\tau)d\tau=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\mathbb{1}_{[x-\epsilon,x]}(\tau)d\tau=\frac{1}{\epsilon}\int_{x-\epsilon}^{x}1d\tau=\frac{1}{\epsilon}[\tau]_{x-\epsilon}^{x}=1$ für alle $x$ und $ f(x)=1$ für alle $x$ und genauso $f\ast g_{\epsilon}(x+\epsilon)=1$ für alle $x$.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-08

Hallo lilly2108, die Rechnung stimmt nicht ganz. Sie stimmt für \(x\) aus einem bestimmten Intervall, für andere \(x\) aber wiederum nicht


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lilly2108
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-08

Für welche $x$ würde es denn z.B. nicht stimmen? 😲


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Kampfpudel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-08

Schau dir mal den Ausdruck \(\int_{0}^{\infty}\mathbb{1}_{[x-\epsilon,x]}(\tau)d\tau \) genauer an und bedenke, dass nur über \(\tau >0\) integriert wird und nicht über alle \(\tau \in \mathbb{R}\)


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Kampfpudel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-10

Vllt etwas konkreter: Wie lautet der Wert des Integrals für \(x<0\)?


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