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Zahlentheorie » Analytische Zahlentheorie » Gewinner beim "Prime number race"
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Universität/Hochschule Gewinner beim "Prime number race"
kleinerriemann
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  Themenstart: 2022-06-09

Hallo, unter der Annahme, dass die verallgemeinerte RV wahr ist, zeigten Hardy und Littlewood 1917, dass der linksseitige Grenzwert der Reihe lim(x->1-,sum((-1)^((p+1)/2)*x^p,p>2,)) gegen +\inf strebt. In diesem Sinne sind die Gewinner des "Prime number race" die Primzahlen der arithmetischen Progression(PAP) \4*n+3 . Ich versuche momentan den Beweis Dirichlets nachzuvollziehen, dass jede arithmetische Progression \ a*n+m , wobei \(a,m)=1 , unendlich viele Primzahlen enthält. Der Fehlerterm der asymptotischen Verteilung der PAP kann unter Gültigkeit der verallgemeinerten RV 'schärfer' abgeschätzt werden. Dieser Ansatz, wie auch eine stärkere Form des Satzes von Bombieri und Winogradow(ohne die Mittelung über die Moduli), führen jedoch nicht zu dem oben beschriebenen Grenzwert. Welche Folgerung der verallgemeinerten RV führt zu dieser Aussage? Gibt es schriftliche Aufzeichnungen über die Herleitung von Hardy und Littlewood? Gruß kleinerriemann


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kleinerriemann
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-10

Hallo nochmal, ich bin doch fündig geworden: Hier oder da. Gruß kleinerriemann


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

In dem Originalpaper von Hardy und Littlewood (hier) wird aus dem Eulerprodukt der Dirichlet-Betafunktion \beta(s)=sum((-1)^n/(2n+1)^s,n=0,\inf)=sum(\chi(n)/(2n+1)^s,n=0,\inf)=produkt(1/(1-\chi(p)p^(-s)),p)=produkt(1/(1-(-1)^((p-1)/2) p^(-s)),p) der Grenzwert im Startbeitrag abgeleitet. Die Reihe konvergiert absolut für Re(s)>1 und bedingt für Re(s)>0. Das Eulerprodukt konvergiert jedoch nur in dem Bereich, in dem die Reihe absolut konvergiert (und nicht verschwindet), also für Re(s)>1. Auf Seite 142 wird nun unter der Vorraussetzung, dass alle nicht-tr. Nullstellen der Dirichlet-Betafunktion auf der kritischen Geraden liegen, ohne Beweis angenommen, dass das Eulerprodukt auch im Bereich Re(s)>0 konvergiert. Ich finde leider nirgends einen strengen Beweis dieser Annahme. Selbst hier gibt es nur heuristische Argumente dafür. Schonmal Danke für eure Hilfe! Gruß kleinerriemann


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