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 Konkretes Differential ausrechnen |
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Namenloser324
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Dabei seit: 15.06.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-06-15
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Moin, das hier ist eine Kopie aus dem Matheboard, da ich da oft keine Antworten erhalte.
ich quäle mich aktuell mit Differentialen herum. Das Problem ist, dass in der Vorlesung (besuche sie nur aus Spaß, arbeite in einem anderen Bereich) leider eine andere Definition verwendet wird als in meinem Skript (die Vorlesung kann ich leider nicht besuchen; die Übungen mache ich aber mit zur Motivation des Stofflernens). In einer aktuellen Übungsaufgabe ist die Funktion \(f(x,y) = (sin(x), xy^2, x^3 -1)\) gegeben, sowie ein Tangentialvektor v (des R^2) im Punkt p, wobei \( v = \frac{\partial}{\partial x}|_{p} - \frac{\partial}{\partial y}|_p \) ist. Man soll nun \( Df|_p(v) \) angeben.
Ich tue mir hier schwer, da in meinem Skript geometrisch definierte Tangentialvektoren verwendet werden und entsprechend auch das Differential anders definiert ist (was äquivalent ist, aber mir fehlt die Übung/Verständnis).
Einem anderen Skript entnehme ich, dass das Differential dann wie folgt definiert sein sollte:
\( dF_p(v)(f) := v(f\circ F) \) mit F:M->N glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, \( p\in M, v\in T_pM \) . f vermute ich ist eine Funktion von N nach R, aber das geht aus meinem Skript nicht so klar hervor.
Dann aber würde ich mit der Definition und dem vorgegebenen Tangentialvektor v rechnen
\( df_p(v)(g) = v(g\circ f) = ( \frac{\partial}{\partial x}|_{p} - \frac{\partial}{\partial y}|_p) (g \circ f) = J_g|_{f(p)} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}|_p - J_g|_{f(p)} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}|_p \)
Ich könnte dann noch die Ableitung von f explizit ausrechnen, aber das wars dann auch. Mir kommt das irgendwie komisch vor. Könnte mir jemand einen Hinweis geben, was denn nun konkret zu rechnen sein soll?
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wie du bereits gesagt hast, hängt das maßgeblich von der verwendeten Definition eines Tangentialvektors ab. Die Ansätze führen natürlich im Endeffekt zum selben Ergebnis, aber man muss schon wissen, was man unter einem Tangentialvektor versteht.
Das Differential einer differenzierbaren Abbildung $f\colon M\to N$ soll im Endeffekt eine lineare Abbildung $\mathrm df_p\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ sein, also Tangentialvektoren auf Tangentialvektoren abbilden.
Wenn du nun also wissen willst, wie du das Ergebnis konkret darstellen sollst, dann wäre wichtig zu wissen, welche Definition von Tangentialvektor du verwenden willst.
LG Nico
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