| |
| Autor |
  Meromorphe Funktionen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab |
|
sina1357
Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
 |  Themenstart: 2022-06-15
|
Hallo zusammen,
ich bearbeite folgende Aufgabe
Sei $G\subset\mathbb{C}$ ein Gebiet und $f:G\to\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ eine meromorphe, nicht konstante Funktion.
Zeige: $f(G)$ ist eine in $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ offene Menge.
Bisher habe ich folgenden Ansatz:
Ich weiß, dass es reicht, alle $z\in G$, $f(z)=\infty$ zu betrachten.
Also sei $z_o$ ein Pol.
Weil die Nullstellenmenge von $f$ diskret ist, existiert ein $r>0$, sodass $f(z)\neq 0$ für jedes $z\in B_r(z_0).$
Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt, dass $g:B_r(z_0)\to\mathbb{C}, z\to\frac{1}{f(z)}$ holomorph ist. Nach dem Satz von der Gebietstreue ist $g(B_r(z_0))$ offen.
Aber wie kann ich weitermachen?
Ich weiß, dass $f(G)$ genau dann eine Umgebung von $\infty$ ist, wenn eine kompakte Menge $K$ existiert, sodass $(\mathbb{C}\cup\{\infty\}) \setminus K \subset f(G).$
Danke für eure Hilfe!
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1944
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-16
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
betrachten wir eventuell zunächst den Fall, dass $f$ einen einzigen Pol $z_0\in G$ besitzt und setzen wir $U:=f(G)$.
Nun sind zwei Dinge zu zeigen:
1) $U\cap \mathbb C$ ist offen in $\mathbb C$.
2) Es gibt ein $c>0$, so dass $\lbrace z\in \mathbb C \mid |z|>c\rbrace\subseteq U$ gilt.
Zu 1) Es ist $U\cap \mathbb C=f(G\setminus\lbrace z_0\rbrace)$. Da $f|_{G\setminus\lbrace z_0\rbrace}$ holomorph und $G\setminus\lbrace z_0\rbrace$ offen ist, folgt die Aussage mit dem Offenheitsprinzip, da $f$ nicht konstant ist.
Zu 2) Das hast du eigentlich fast schon gezeigt. Du weißt, dass $g(B_r(z_0))$ offen ist und $0\in g(B_r(z_0))$ gilt. Folglich gibt es ein $s>0$ mit $B_s(0)\subseteq g(B_r(z_0))$. Folglich enthält $U$ alle $z\in \mathbb C$ mit $|z|>\frac 1s=:c$.
Anmerkung 1: Die Begründung für die holomorphe Fortsetzbarkeit von $1/f$ nach $z_0$ halte ich für ungenügend. Die Aussage ist richtig, keine Frage, aber hier geht ein, dass $z_0$ ein Pol von $f$ ist. Aus der Tatsache $f(z)\neq 0$ in einer Umgebung von $z_0$ folgt die gewünschte Aussage nicht. Folglich benötigst du auch die Diskretheit der Nullstellenmenge von $f$ hier nicht. Schau dir den Riemannschen Hebbarkeitssatz am besten noch einmal genauer an und auch, was es bedeutet, dass $z_0$ ein Pol ist. Überlege dir anschließend, wie du die Voraussetzungen des Satzes hier zeigen kannst.
Anmerkung 2: Die Bedingungen 1) und 2) sind die typische Definition für die Topologie auf $\widehat{\mathbb C}$. Vermutlich habt ihr die Topologie auch so definiert? Eine Intuition für diese Definition kann man von der Riemannschen Zahlensphäre erhalten.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
sina1357
Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16
|
Hallo Nico,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort!!!!
Deine Tipps aus Anmerkung 1 habe ich umgesetzt und den Beweis konnte ich beenden.
LG Sina
|
Profil
|
sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
