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Universität/Hochschule Aharonov-Bohm Effekt
Lambda88
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  Themenstart: 2022-06-16

Hallo zusammen, habe bei der folgenden Aufgabe Probleme: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-16_um_18.28.25.png Bei dem Aufgabenteil 3a bin ich mir nicht sicher, ob ich mich verrechnet habe oder die angegeben Lösung für den magnetischen Fluss falsch ist. Hier meine Rechnung: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-16_um_18.46.09.png Bei der 3b bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe so berechnen soll, da wenn ich den letzten Term ausquadriere, wäre das eine ganz schöne rechnen Arbeit. Ist mein Ansatz falsch oder übersehe ich einen wichtigen Trick, welcher die Rechnung erheblich erleichtert? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-16_um_18.46.33.png Schon einmal Danke für die Hilfe


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-18

Hallo! wir gehen mal davon aus, daß wir und der Aufgabensteller den AB-Effekt richtig verstanden haben, :-), und in der Aufgabenstellung lediglich das Vektorpotential schlampig aufgeschrieben wurde. Deshalb hast Du bei der a) zwar richtig gerechnet, aber das falsche Ergebnis bekommen Frage an Dich, zunächst lösgelöst vom AB: Wie lautet denn das Vektorpotential einer stromdurchflossenen langen Zylinderspule mit Radius a innerhalb und außerhalb? Verwende dazu Zylinderkoordinaten \(\rho,\phi,z), betrachte also die Fälle 0<\rhoa Wenn Du das richtig ausgerechnest hast, und wir bei der Bezeichnung \rho für die variable, radiale Zylinderkoordinate bleiben, solltest Du feststellen, daß der Betrag des Potentials innerhalb ~ zu \rho ist. Was in der Aufgabenstellung steht, A^>=\Phi/(2 \pi \rho) ist das Potential außerhalb, was Dir bei der Berechnung des Flusses durch eine Kreisfläche nichts nutzt. Langes Geschreibe kurzer Sinn: In der Aufgabenstellung wird \rho für zwei verschiedene Größen verwendet. Noch etwas Hintergrund für Dich (unbedingt den AB irgendwo nachlesen): Betrachtet wird eine stromdurchflossene lange Spule mit Radius a. Diese Spule hat im Innern ein Magnetfeld, außerhalb verschwindet das im Idealfall. Trotzdem existiert aber außerhalb ein Vektorpotential! Dann betrachtet man ein geladenes Teilchen, welches die Spule außerhalb im Abstand b>a passiert. Grüße Juergen


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Lambda88
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-18

Danke Spock für deine Hilfe 👍, dann bin ich schon mal beruhigt, dass ich in a richtig gerechnet habe. Ich habe nämlich die a zweimal gerechnet, da ich dachte, es hätte sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen 😃 Ich habe jetzt einmal versucht, das Vektorpotential innerhalb und außerhalb des Ringes zu berechnen. Den magnetischen Fluss kann man ja auch mithilfe des Vektorpotentials berechnen, also bin ich wie folgt vorgegangen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-18_um_20.16.28.png Bei der Berechnung des inneren Vektorpotentials bin ich jetzt von dem äußeren Potenzial ausgegangen, jedoch ist der Fluss wiederum abhängig von den gewählten \rho je kleiner dieses ist, desto kleiner der Fluss und je größer \rho, desto größer der Fluss, diesen Umstand habe mit \rho/a in meinem Ergebnis berücksichtigt. Stimmt das so? Ich werde mir auf jeden Fall den Aharonov-Bohm-Effekt noch einmal genauer anschauen 😃 Grob habe ich es jetzt so verstanden, dass es zu einer Phasenverschiebung der Wellenfunktion kommt, jedoch nicht durch das Magnetfeld, sondern das Vektorpotential.


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Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-18

Hallo! Unter Umständen habe ich Dich jetzt zusätzlich verwirrt, :-( Noch einmal etwas ausführlicher mein Verständnis der Aufgabe:: Teil a) der Aufgabe ist erstmal reine Magnetostatik. Ist das Ziel der AB Effekt, so sollte es dort um das Magnetfeld und das Vektorpotential einer langen, stromdurchflossenen Zylinderspule gehen. Zu zeigen ist dann, daß das Magnetfeld innerhalb der Spule von Null verschieden ist, und außerhalb verschwindet, während das Vektorpotential sowohl innerhalb als auch außerhalb der Spule von Null verschieden ist. Offenbar ist die Idee des Aufgabenstellers, das Vektorpotential vorzugeben, und daraus das Magnetfeld berechnen zu lassen. Das Vektorpotential einer langen Zylinderspule mit Radius a ist in Zylinderkoordinaten von der Form \lr(1)A^>(r^>)=A(\rho) e^>_\phi, wobei \lr(2)A(\rho)=\Phi/(2 \pi a^2) \rho, falls 0<\rho=a Für die Berechnung des Magnetfeldes mit Hilfe von \lr(4)B^>=rot(A^>) ist es geschickt, die Rotation gleich in Zylinderkoordinaten zu verwenden, unter Beachtung von ref(1) folgt dann \lr(5)B^>=1/\rho d/(d\rho) (\rho A(\rho)) e^>_z An dieser Stelle kannst Du bestimmt alleine weitermachen... Beim zweiten Teil der Aufgabe a), also der Berechnung des Fluß\-Integrales int(B^>*,S^>) muß man auch nicht so viel mehr rechnen, wenn man das Flächenelement d\.S^> in Zylinderkoordinaten ausdrückt, ref(5) verwendet, und danach ref(2) beachtet. Ansonsten meinst Du mit der kurzen Handnotiz in Deinem Beitrag No. 2 wahrscheinlich das Richtige, :-) Grüße Juergen


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Lambda88
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-19

Vielen Dank Spock für die mühe die du dir machts, dass ganz so ausführlich mir zu erklären 👍👍👍 Ich glaube, gestern hat die Hitze mir nicht gutgetan 😃 Deswegen stand ich leider etwas auf dem Schlauch. Wenn ich jetzt bei deiner Herleitung, bei der (5) das Vektorpotential außerhalb der Spule verwende, also (3), dann würde die Ableitung wiederum null ergeben und somit auch das Magnetfeld. Ich habe dann mit der (5) noch einmal, den magnetischen Fluss berechnet. Habe bei meiner (1) wiederum erst einmal das Magnetfeld berechnet. Habe dieses dann bei (2) in die Berechnung für den Fluss eingesetzt und folgendes erhalten. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-19_um_16.11.56.png Jetzt komme ich auf das geforderte Ergebnis 😃 Nochmals vielen Dank 👍 Leider komme ich jedoch nicht bei der b weiter. Kann man den Ausdruck in der Klammer noch etwas vereinfachen oder muss ich das alles wie in meinen Beitrag No.1 wirklich von Hand so ausrechnen?


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Spock
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-20

Hallo! Grundsätzlich liegst Du bei der b) richtig, "einfach" nur ausrechnen. Allerdings würde ich das zunächst nicht explizit mit den angegebenen Einheitsvektoren machen, es besteht keine Notwendigkeit, die Zylinder-Einheitsvektoren durch die kartesischen Einheitsvektoren auszudrücken. Vielleicht hilft Dir zunächst diese Umformung (Coulomb-Eichung beachten): H^^=- \hbar^2/2m \Nabla^2+\ii\.\hbar 1/m q/c A^>*\Nabla+1/2m q^2/c^2 A^>*A^> Danach würde ich die Operatoren \Nabla und \Nabla^2 gleich in Zylinderkoordinaten verwenden, und insbesondere die Darstellung mit den Zylinder\-Einheitsvektoren beibehalten. Wegen der Form des Vektorpotentials, A^>=\Phi/(2 \pi \rho) e^>_\phi , vereinfacht sich da recht schnell etwas. Überlege Dir anschließend, und da sind wir dann wieder beim AB Effekt, das Folgende: Der Hamilton wirkt ja auf eine Wellenfunktion \Psi, nämlich auf die eines geladenen Teilchens, was im Abstand b in den Bereich des Vektorpotentials außerhalb der Spule eintritt, siehe mein Erklärungsversuch oben. Von welchen Zylinderkoordinaten hängt diese Wellenfunktion ab, und wie vereinfacht sich der Hamilton dadurch? Wenn Dir diese Abhängigkeit klar ist, kannst Du natürlich die Rechnung von oben erheblich verkürzen, d.h. Du kannst H^^ \Psi betrachten, und erkennst dann recht schnell, was vom Hamilton übrig bleibt. Und Vorsicht: Das " \rho " in der Gleichung (13) der Aufgabe ist NICHT die variable Zylinderkoordinate, sondern der feste Radius der Kreisbahn des geladenen Teilchens, in meiner Notation ist das b! Melde Dich bei Problemen Grüße Juergen


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Lambda88
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20

Nochmals vielen vielen Dank Spock für deine Hilfe und die Zeit, die du dir nimmst, mir das Ganze genauer zu erklären 👍👍👍 Ich bin dann, wie du beschrieben hast, wie folgt vorgegangen. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-20_um_15.28.18.png In der dritten Zeile habe ich dann das angewendet, als du meinstes, ich sollte mir gesanken darüber machen, von welcher Variable der Zylinderkoordinaten die Wellenfunktion abhängig sein muss. Ich habe mich dabei an dem Vektorpotential orientiert und da dort e^>_\phi vorkommt, gehe ich davon aus, dass die Wellenfunktion auch von \phi abhängt. Dadurch würde ja die Ableitungen nach \pd\ _\rho und \pd\ _z verschwindenden oder besser gesagt null ergeben. Danach habe ich mir gedanken gemacht, wie 1/\phi2_0 aussehen muss. Das habe ich dann in der vierten Zeile angewendet und danach nur noch die Gleichung vereinfacht. Wenn das jetzt alles so richtig war, kommt sogar genau der gesuchte Hamiltonien von (13) raus :-) Bin nur etwas von der weiteren Aufgabenstellung verwirrt "Berechnen Sie dessen Eigenfunktionen und Eigenwerte." Ich gehe davon aus, dass die Eigenfunktion/Eigenwerte des Hamiltonoperators (13) gemeint ist. Bein Hamiltonoperator (13) handelt es sich ja nur noch um ein Skalar, ich dachte immer, dass man Eigenfunktion/Eigenwerte nur von Matrizen berechnen kann.


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Spock
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-20

Hallo, sieht soweit gut aus, aber schau Dir nochmal Deine letzte Handschrift-Zeile in Beitrag Nr.6 an, da hast Du ein Quadrat in der Klammer, die ganze Klammer sollte aber zum Quadrat sein. In der Zeile drüber steht es noch richtig. Und ich gehe davon aus, daß Dir klar ist, daß in Deiner Lösung das \rho nicht die variable Zylinderkoordinate, sondern der feste Bahnradius des geladenen Teilchens ist, siehe mein Beitrag Nr.5 Und wie schon gesagt: In der Aufgabe steht ja eingangs, daß sich das geladenen Teilchen auf einer Kreisbahn befindet, und dann kann seine Wellenfunktion nur vom Azimuthwinkel \phi abhängen, womit man nicht so ausführlich hätte rechnen müssen wie Du das getan hast. Aber als Übung war das ganz gut \:\-) Tatsächlich beschränkt sich der Begriff "Eigenwert" nicht nur auf Matrizen. Denke z.B. an die stationäre Schrödinger-Gleichung mit einem zeitunabhängigen Hamilton, H^^ \psi=E \psi Schaffst Du denn den zweiten Teil von b)? Dort wird ja auf ein anderes Aufgabenblatt hingewiesen, und da solltest Du nachschauen. Ansonsten einfach nochmal melden. Grüße Juergen


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Lambda88
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20

Danke Spock, dass du über meine Rechnung geschaut hast und danke für den Hinweis mit dem Quadrat, das hatte ich komplett übersehen 😃 Danke auch mit dem Hinweis mit der unterschiedlichen Bedeutung für das rho, das hat mich bei der Berechnung für den Aufgabeteil b, tatsächlich extrem verwirrt, da ich es vorher als Variabel von den Zylinderkoordinaten interpretiert habe. Die Aufgabe 3 vom Übungsblatt 3 sah wie folgt aus: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-20_um_19.47.25.jpg Dabei handelt es sich auch um ein Teilchen auf einem Ring, aber leider verstehe ich nicht, was der Aufgabensteller mir damit sagen möchte, dass ich den Aufgabenteil b hier mit lösen kann. Muss ich folgende machen? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-20_um_20.15.38.png Dann müsste ich ja eine Differenzialgleichung 2. Ordnung lösen


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-20

\quoteon(2022-06-20 20:19 - Lambda88 in Beitrag No. 8) Dabei handelt es sich auch um ein Teilchen auf einem Ring, aber leider verstehe ich nicht, was der Aufgabensteller mir damit sagen möchte, dass ich den Aufgabenteil b hier mit lösen kann. \quoteoff Der Hamiltonoperator der aktuellen Aufgabe ist eine Funktion von $L_z$, dessen Eigenfunktionen und Eigenwerte du in Teil b) der alten Aufgabe bestimmt hast. Wenn du nicht sofort siehst, wie dir das weiterhilft, schreibe die Eigenzustände des Hamiltonoperators in einer Basis aus Eigenfunktionen von $L_z$. \quoteon(2022-06-20 20:19 - Lambda88 in Beitrag No. 8) Dann müsste ich ja eine Differenzialgleichung 2. Ordnung lösen \quoteoff Du musst gar keine Differentialgleichung lösen. Die ganze Arbeit wurde bereits in Teil b) der alten Aufgabe gemacht.


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Spock
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-20

Hallo! Ja, Du mußt eine DGL lösen. Aber da Du sicher die Aufgabe 3a) und 3b) des erwähnten anderen Übungsblattes gelöst hast, solltest Du zumindest erahnen, wie die Lösung auszusehen hat, Tipp \psi~exp(\ii\.\mue\.\phi) Mit diesem Lösungsansatz gehst Du in die DGL, und das liefert Dir einen Ausdruck für den Eigenwert E in Abhängigkeit von dem noch unbekannten Parameter \mue. Dieser Parameter ist festgelegt durch die Bedingung, daß die Wellenfunktion eindeutig sein muß, ganz analog zum 3. Aufgabenblatt. Schau mal, ob Du damit weiterkommst. Grüße Juergen [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Lambda88
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Danke Spock und zippy für eure Hilfe 👍👍👍 Ich habe jetzt den Ansatz \psi~exp(\ii\.\mue\.\phi) in die DGL eingesetzt und diese Gleichung dann nach \mue aufgelöst. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-21_um_14.37.05.png Der Grundzustand wäre ja der Zustand mit der geringsten Energie, was \mue_1 entspricht. \psi_GS entspricht damit dem Grundzustand. Stimmt das so? Müsste ich jetzt, um die Energieniveaus zu erhalten, 1/sqrt(2*pi)*e^(i*\mue_1*\phi) und 1/sqrt(2*pi)*e^(i*\mue_2*\phi) in die Schrödingergleichung einsetzen und nach E auflösen?


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Lambda88
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Ich habe mir noch einmal Gedanken um die Energieniveaus gemacht https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-21_um_20.05.12.png Diese müssen ja abhängig von dem Parameter \mue sein, \mue darf dann wiederum ganzzahlige Werte annehmen. Die einzelnen Energieniveaus würden damit verschobene Parabeln entsprechen. Stimmt das so? Jetzt bin ich mir nur nicht mehr sicher, ob mein Wert für den Grundzustand stimmt.


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Lambda88
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Sorry, hatte einen Denkfehler, wenn \mue nur ganzzahlige Werte annehmen darf, dann handelt es sich ja nicht um Parabeln. Die Energieniveaus müssten dann wie folgt aussehen. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-21_um_20.33.04.png


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Spock
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-22

Hallo, was Du in Beitrag No.11 tust, ist zu viel des Guten. Es ist nach den Eigenwerten gefragt, und dazu gehst Du so vor, wie in Beitrag Nr.9 oder Nr.10 beschrieben. Aus der Bedingung \psi(\phi)=\psi(\phi+2 \pi) schließt man dann, daß der Parameter \mue im Lösungsansatz nur ganzzahlig sein kann, ganz analog wie das für L^^_z im 3. Aufgabenblatt gemacht wurde. Dein Beitrag Nr.12 ist daher soweit in Ordnung Was nicht gefragt wurde, aber interessant ist: Wenn Du Dir die Energie-Eigenwerte anschaust, was fällt da auf? Grüße Juergen


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Lambda88
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-22

Vielen Dank nochmals Spock für deine Hilfe und dass du über meine Rechnungen geschaut hast 👍👍👍 Ist \psi(\phi)=\psi(\phi+2 \pi) die Bedingung, dass die Wellenfunktion eindeutig sein muss? Wegen der Frage mit den Eigenwerten und was dabei auffällt. Ich hoffe, ich bringe jetzt nichts durcheinander 😃 Wir betrachten ja ein Teilchen, welches sich außerhalb des Ringes befindet und in der Nähe des Ringes vorbeifliegt. Das Magnetfeld außerhalb ist wiederum Null. Der Hamiltonoperator aus Aufgabe 3b wird jetzt auf den Ansatz aus deinem Beitrag No.10 angewendet, was ja nichts anderes ist, als die Wellenfunktion/Eigenfunktion des Teilchens. Der Eigenwert entspricht nun der Energie, welche das Teilchen haben kann. Wenn man sich jetzt die Formel des Eigenwerts anschaut, https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-22_um_19.46.38.png Dann sieht man, dass in der Formel der magnetische Fluss drin vorkommt und somit die Energie des Teilchens beeinflusst. Da das Magnetfeld außerhalb null ist, würde man ja klassisch annehmen, dass dieses keinen Einfluss auf das Teilchen haben würde. Sorry, für den langen Text. Ich wollte nur sichergehen, ob ich die Aufgabe und dessen Lösung jetzt richtig interpretiere. Ich hätte dann noch eine Frage zu dem Grundzustand. Der Grundzustand entspricht ja den Zustand, mit der geringsten Energie. Durch das Quadrat wird die Energie wiederum nicht negativ, wodurch der kleinste Wert ja 0 wäre. Dies wäre der Fall, wenn \mue=\phi2/\phi2_0 Wäre der Grundzustand also \psi_GS=1/sqrt(2*pi)*e^(i*\phi2/\phi2_0*\phi)


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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-22

Hallo! Deine beiden Fragen bzgl. der Eindeutigkeit, und ob Du die Eigenwerte richtig interpretiert hast, beantworte ich mit "ja" Zum Grundzustand: Davon gibt es viele, :-) Wir hatten ja festgestellt, daß \mue ganzzahlig ist, sonst aber beliebig. Das bedeutet, die Grundzustände hängen vom Verhältnis \Phi/\Phi_0 ab. Ist dieses Verhältnis ganzzahlig, findet sich immer ein \mue für das die Energie zu Null wird. Die verschobene Parabelschar in Deinem Beitrag Nr.12 trifft die Sache recht gut, wenn Du die einzelnen diskreten Niveaus so zeichnest wie in Beitrag Nr. 13. Noch ein Hinweis: Du hast die Energie\-Eigenwerte in Abhängigkeit von \mue gezeichnet. Sofern ich den Aufgabensteller richtig verstehe, sollst Du \mue vorgeben, also z.B. \mue=0, +-1, +-2, und für jedes feste \mue den Eigenwert als Funktion von \Phi\/\Phi_0 plotten. Grüße Juergen


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23

\quoteon(2022-06-22 20:26 - Spock in Beitrag No. 16) Deine beiden Fragen bzgl. der Eindeutigkeit, und ob Du die Eigenwerte richtig interpretiert hast, beantworte ich mit "ja" \quoteoff Juhu 😃 Dank Deiner Hilfe habe ich die Aufgabe und dessen Lösung erst richtig verstanden, vielen Dank dafür noch einmal 👍👍👍 Wegen des Grundzustands, könnte ich den Grundzustand dann so schreiben. \psi_GS\mue=e^(i*(\Phi/\Phi_0)_\mue*\phi) Dass ich dann nämlich mit dem Index ausdrücke, welchen der vielen Grundzustände ich meine, also wo \Phi/\Phi_0=\mue ist. Müsste der Plot der Eigenwerte/Energien dann wie folgt aussehen? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Bildschirmfoto_2022-06-23_um_21.01.05.png


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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-06-24

Hallo, und ja, soweit alles gut, und den Teil c) bekommst Du jetzt sicher auch hin. Eine Verständnisfrage zum Hamiltonoperator für geladene Teilchen in magnetischen Feldern hätte ich noch für Dich: In Deiner Aufgabe Gleichung (12) steht er ja in der Form H^^=1/2m (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))^2 Bekanntlich erhält man ihn aus der Hamilton\-Funktion der klassischen Elektrodynamik mit Hilfe des Korrespondenzprinzipes, d.h. man ersetzt die klassischen Größen durch ihre entsprechenden quantenmechanischen Operatoren. Wenn man jetzt das Skalarprodukt ausmultipliziert, was ist richtig: (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-2 q/c p^>^^*A^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 ? oder (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-2 q/c A^>^^*p^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 ? oder (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-q/c p^>^^*A^>^^-q/c A^>^^*p^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 ? oder : ? Versuche das mal richtig auszurechnen, und beachte, daß p^>^^ und A^>^^ Vektoroperatoren sind, die i.A. nicht miteinander vertauschen. Zusätzlich verwendet man bei der Berechnung noch die sogenannte Coulomb\-Eichung, d.h. div(A^>)=0 Schau dann nochmal in meinen Beitrag No.5, dort hatte ich Dir den folgenden Hamiltonoperator hingeschrieben: H^^=- \hbar^2/2m \Nabla^2+\ii\.\hbar 1/m q/c A^>*\Nabla+1/2m q^2/c^2 A^>*A^> Ist der richtig oder falsch, und warum? Dann hab mal Spaß, :-) Grüße Juergen


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Nochmals vielen Dank Spock für deine Hilfe 👍👍👍👍, ohne diese wäre ich bei dieser Aufgabe nicht sehr weit gekommen. Bezüglich der c, das sollte kein Problem sein, da muss ich ja nur den Grundzustand in die Formel eingeben und sonst nur ausrechnen. Bezüglich deiner Frage, das ist eine sehr gute Frage. Ich habe mir schon Gedanken darüber gemacht, bin mir aber noch nicht ganz sicher. Ich werde mir morgen noch einmal mehr Gedanken darüber machen und hoffentlich morgen eine Antwort darauf haben 😃


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Ich würde jetzt sagen, dass (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-q/c p^>^^*A^>^^-q/c A^>^^*p^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 Der allgemeine Fall ist, wenn man nicht weiß, ob die Operatoren miteinander kommutieren oder nicht. Falls die beiden Operatoren kommutieren, könnte man ja (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-2 q/c p^>^^*A^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 oder (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-2 q/c A^>^^*p^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 schreiben, da die Reihenfolge egal ist, kommt der Term -q/c*p^>*A^> ja dann zweimal vor. Zu deinem Beitrag no.5 Der Hamiltonoperator vom Aufgabenblatt (12) würde ja wie folgt aussehen, wenn man diesen quadriert H^^=- \1/2m*( \hbar^2* \Nabla^2 - i*\hbar*q/c A^>*\Nabla -i*\hbar*q/c \Nabla*A^> + q^2/c^2 A^>*A^>) Durch die Coulomb\-Eichung müsste ja -i*\hbar*q/c \Nabla*A^>=0 sein und nur noch H^^=- 1/2m*(\hbar^2* \Nabla^2 - i*\hbar*q/c A^>*\Nabla + q^2/c^2 A^>*A^>) übrig bleiben. Damit ich aber das Ergebnis von dir erhalte, fehlt mir leider für den mittleren Term ein 2. Habe ich irgendetwas falsch gemacht?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Spock
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-26

Hallo! Grundsätzlich darfst Du nicht davon ausgehen, daß zwei Operatoren kommutieren. Auch in dem Fall hier ist sicher in der Ortsdarstellung div(A^>)!=A^>*\Nabla Daher darf man das Skalarprodukt nicht einfach so ausmultiplizieren als sei es eine binomische Formel, die ersten beiden Gleichungen im Beitrag No.18 sind also i.A. so nicht richtig. Richtig ist zunächst das hier (p^>^^-q/c A^>(r^>^^))*(p^>^^-q/c A^>(r^>^^))=p^>^^^2-q/c p^>^^*A^>^^-q/c A^>^^*p^>^^+(q/c)^2 A^>^^^2 Wenn wir uns lediglich auf die beiden Mischterme konzentriere, und die Vorfaktoren weglassen, geht es um den Ausdruck div(A^>^^+A^>^^*\Nabla Hier könnte man jetzt versucht sein, sofort die Coulomb\-Eichung div(A^>)=0 anzuwenden, aber das ist die Falle. Beachte, daß es immer noch Operatoren sind, die auf eine Wellenfunktion \psi wirken. Für den ersten Term gilt dann \Nabla*A^> \psi==\Nabla*(A^>\psi)=\psi div(A^>)+A^>*grad(\psi) Jetzt darf man Coulomb eichen, und insgesamt hat man div(A^>^^+A^>^^*\Nabla=2\.A^>^^ * \Nabla Ich hoffe, Du findest jetzt Deine verlorene "2", :-) Grüße Juergen


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