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| Autor |
 Ungleichung mit komplexen Zahlen |
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clausthaler
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.06.2008
Mitteilungen: 299
 |  Themenstart: 2022-06-18
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Hallo,
Given $\vartheta\in(0,\frac\pi2]$,
we define, for all $\alpha \in R$, the wedges
$$
W(\alpha,\vartheta):= \big\{w\in C\setminus\{0\}: (\text{Arg } w) \cap (\alpha-\vartheta,\alpha+\vartheta]
\neq\emptyset \big\}.
$$
\begin{theorem}
Let $\vartheta\in(0,\frac\pi2]$ be given. If $z_1,\ldots,z_n$ are complex numbers,
then there exists an $\alpha\in R$ such that
$$
\bigg|\sum_{\{k: z_k\in W(\alpha,\vartheta)\}} z_k \bigg|
\ge \frac1c \sum_{k=1}^n |z_k|.
$$
\end{theorem}
Wer weiß etwas über das beste $c$ in Abhängigkeit von $\vartheta$ (also unabhängig von $n$) oder sogar in Abhängigkeit von $\vartheta$ UND $n$ ?
Viele Grüße clausthaler
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 Profil
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Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1324
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-18
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Hinweis: die <math>-Umgebung schafft es hier:
\quoteon(2022-06-18 12:09 - clausthaler im Themenstart)
$Given $\vartheta\in(0,\frac\pi2]$,
we define, for all $\alpha \in R$, the wedges
$$
W(\alpha,\vartheta):= \big\{w\in C\setminus\{0\}: (\text{Arg } w) \cap (\alpha-\vartheta,\alpha+\vartheta]
\neq\emptyset \big\}.
$$
\begin{theorem}
Let $\vartheta\in(0,\frac\pi2]$ be given. If $z_1,\ldots,z_n$ are complex numbers,
then there exists an $\alpha\in R$ such that
$$
\bigg|\sum_{\{k: z_k\in W(\alpha,\vartheta)\}} z_k \bigg|
\ge \frac1c \sum_{k=1}^n |z_k|.
$$
\end{theorem}
$
Wer weiß etwas über das beste $c$ in Abhängigkeit von $\vartheta$ (also unabhängig von $n$) oder sogar in Abhängigkeit von $\vartheta$ UND $n$ ?
\quoteoff
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Profil
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Ixx
Aktiv 
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 364
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-18
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Moin zusammen.
Soweit ich das sehe, wird hier eigentlich ziemlich viel heiße Luft mit unnötig komplizierter Notation erzeugt. So sehe ich nicht, warum man W nicht einfach sprachlich als diejenigen komplexen Zahlen, deren Argument von alpha um höchstens theta abweicht, definiert. Und auch die betrachtete Summe ist unnötig kompliziert notiert. Warum sagt man nicht einfach, dass man eine Menge von n komplexen Zahlen aus dieser Menge betrachtet? Es ergibt keinen Sinn, die z_k erst im Index der ersten Summe definieren zu wollen...
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5016
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-18
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\quoteon(2022-06-18 23:32 - Ixx in Beitrag No. 2)
So sehe ich nicht, warum man W nicht einfach sprachlich als diejenigen komplexen Zahlen, deren Argument von alpha um höchstens theta abweicht, definiert.
\quoteoff
Weil es nicht das Argument einer komplexen Zahl gibt. Die Formulierung im Startbeitrag vermeidet Probleme mit der Mehrdeutigkeit.
\quoteon(2022-06-18 23:32 - Ixx in Beitrag No. 2)
Warum sagt man nicht einfach, dass man eine Menge von n komplexen Zahlen aus dieser Menge betrachtet?
\quoteoff
Weil man nicht $n$ komplexe Zahlen aus dieser Menge betrachtet, sondern irgendwelche $n$ komplexen Zahlen, von denen einige in dieser Menge liegen.
--zippy
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Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 364
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-19
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\quoteon(2022-06-18 23:48 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-06-18 23:32 - Ixx in Beitrag No. 2)
Warum sagt man nicht einfach, dass man eine Menge von n komplexen Zahlen aus dieser Menge betrachtet?
\quoteoff
Weil man nicht $n$ komplexe Zahlen aus dieser Menge betrachtet, sondern irgendwelche $n$ komplexen Zahlen, von denen einige in dieser Menge liegen.
\quoteoff
Dann ergibt die Frage doch überhaupt keinen Sinn mehr, wenn die Summe auf der linken Seite auch über eine leere Menge gebildet werden kann...
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5016
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-19
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\quoteon(2022-06-19 01:10 - Ixx in Beitrag No. 4)
Dann ergibt die Frage doch überhaupt keinen Sinn mehr, wenn die Summe auf der linken Seite auch über eine leere Menge gebildet werden kann...
\quoteoff
Du hast noch nicht verstanden, worum es geht:
\quoteon(2022-06-18 12:09 - clausthaler im Themenstart)
Let $\vartheta\in(0,\frac\pi2]$ be given. If $z_1,\ldots,z_n$ are complex numbers, then there exists an $\alpha\in R$ such that [...]
\quoteoff
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clausthaler
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.06.2008
Mitteilungen: 299
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-19
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clausthaler
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.06.2008
Mitteilungen: 299
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26
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| clausthaler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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