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Integration » Integration im IR^n » Flächenintegral über Halbkreis
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Universität/Hochschule Flächenintegral über Halbkreis
Jocobes
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  Themenstart: 2022-06-21

Hallo, Ich hätte eine Kurze Frage zu folgendem Integral: \[\int\int_F\sqrt{1-x^2}dxdy \quad \quad F:x^2+y^2\leq1 \land x\geq 0\] Ich komm hier eifnach nicht weiter. Die Tatsache, dass über einen Halbkreis integriert wird schreit ja förmlich nach Polarkoordinaten. Allerdings tu ich mir mit \(\int\int\sqrt{r^2-r^4cos(\varphi)}drd\varphi\) auch nicht wirklich leichter. Hat jemand einen Tipp für mich wie ich das ganze angehen könnte?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-21

Huhu Jocobes, wieso ziehst du den Faktor \(r\) in die Wurzel? Außerdem fehlt ein Quadrat in der Wurzel. Es geht um \(\int \sqrt{1-r^2\cos^2(\phi)} \, r \, \dd r\). Was hast du probiert an Methoden für dieses Integral? Gruß, Küstenkind


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das tut zwar (zunächst) nicht so viel zur Sache, aber dem Kosinus in der Wurzel fehlt noch ein Quadrat. Nun zu deinem Anliegen mit dem inneren Integral: wenn man noch \(r^2\) aus der Wurzel herauszieht, kann man hier doch prima subsituieren. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration im IR^n' von Diophant]\(\endgroup\)


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Jocobes
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Oje, das war billig. Ich kann einfach \(u=1-r^2cos^2(\varphi)\) substituieren. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Jocobes
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Okay, ich habs doch noch nicht so ganz. Ich substituiere wie oben beschrieben. \[\int \limits_{\varphi=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi}{-2 cos^2(\varphi)}\int \limits_{u=1}^{1-cos^2(\varphi)}\sqrt{u}du = -\frac{1}{3}\int \limits_{-\varphi=\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left[1-cos^2(\varphi)\right]^{\frac{3}{2}}-1)}{cos^2(\varphi)}d\varphi \\ =-\frac{1}{3}\int \limits_{-\varphi=\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^3(\varphi)-1}{cos^2(\varphi}d\varphi) \] Zu dem Integral sagt mir Wolfram alpha, dass es divergiert. Hab ich mich obenirgendwo vertan?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-21

Aufpassen beim Wurzelziehen: \((\sin^2(\phi))^{3/2}\) ist sicherlich stets nicht negativ. Bei \(\sin^3(\phi)\) sieht das denn schon anders aus. Gruß, Küstenkind


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Jocobes
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Das stimmt natürlich! Dann bekomme ich allerdings immer noch ein Integral das ich nicht zu lösen vermag ;)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-22

Huhu Jocobes, \quoteon(2022-06-21 13:29 - Jocobes in Beitrag No. 6) Dann bekomme ich allerdings immer noch ein Integral das ich nicht zu lösen vermag ;) \quoteoff konntest du es nun lösen, oder kommt der \(\checkmark\) noch vom vorherigen Abhaken? Falls dieses der Fall ist: An welcher Stelle kommst du nicht weiter? Gruß, Küstenkind


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