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Mathematik » Stochastik und Statistik » Genauigkeit einer Umfrage
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Universität/Hochschule J Genauigkeit einer Umfrage
Berpal23
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  Themenstart: 2022-06-21

Hi, ich habe ein Problem die folgende Aufgabe aus der Stochastik zu lösen: Zeigen Sie (unter gewissen selbst zu formulierenden idealisierten Bedingungen), dass die Genauigkeit einer Umfrage nicht von der Größe der Grundgesamtheit abhängt. Als Hinweis habe ich bekommen, eine Urne mit $n$ Kugeln zu betrachten, von denen $n\cdot p$ schwarz und $n-n\cdot p$ weiß sind, aus der man $N$ Kugeln zieht und sich überlegt, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau $k\in\{0,1,...,N\}$ davon schwarz sind. Wie kann ich diese Aufgabe lösen und wie hilft mir der Hinweis?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-28

Moin Berpal23, nehmen wir an, wie das im Hinweis auch insinuiert wird, dass wir wissen wollen, welcher Anteil einer Grundgesamtheit von $n$ Personen auf eine Ja-Nein-Frage mit "Ja" (relativer Anteil $p$) und welcher mit "Nein" (relativer Anteil $1-p$) antwortet. Wir wählen dazu zufällig $N$ Personen aus und befragen diese, wobei wir klarerweise jede Person maximal einmal befragen. Diese Situation kann durch ein Urnenmodell dargestellt werden, wobei die Personen, die mit "Ja" antworten würden (oBdA) die schwarzen (Anzahl $np$) und die, die mit "Nein" antworten würden, die weißen Kugeln (Anzahl $n(1-p)$) sind sowie die - ohne Zurücklegen - gezogenen Kugeln die befragten Personen. $X$ bezeichne nun die Anzahl der gezogenen Kugeln (befragten Personen), die schwarz sind (mit "Ja" geantwortet haben). Damit ist $X \sim H_{n, np, N}$ (siehe hier). Die Schätzung von $p$ erfolgt auf der Basis von $X$, die naheliegendste Variante ist der Anteil der schwarzen unter den gezogenen Kugeln, d.h. $\hat{p} = X/N$. Jedenfalls hängt die Genauigkeit des Schätzers für $p$ nur von der Verteilung von $X$ ab. Wenn Letztere also unter gewissen Bedingungen von $n$ unabhängig ist, dann auch Erstere. Intuitiv würde man vermuten, dass dafür die Stichprobe gegenüber der Grundgesamtheit so klein sein muss, dass Letztere durch die Entnahme der Ersteren nicht nennenswert gestört wird, d.h. dass $N \ll np$ und $N \ll n(1-p)$ gilt. Tatsächlich sind das auch die gesuchten Bedingungen. Zeige nun mithilfe der Stirling-Formel, dass unter diesen Bedingungen näherungsweise $X \sim B_{N,p}$ gilt. LG, semasch


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Berpal23
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-28

Danke!!!


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Berpal23 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Berpal23 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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