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Mathematik » Geometrie » Kongruenzabbildungen bestimmen
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Universität/Hochschule Kongruenzabbildungen bestimmen
Meli
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  Themenstart: 2022-06-24

In der Aufgabe sind zwei Geraden gegeben mit g={(x,y)|2y=x+2} und h={(x,y)|y=-3x+5} und p=(0,1) aus g und q=(1,2) aus h. Wie bestimme ich alle Kongruenzabbildungen von p auf q? Vielen Dank Meli


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24

Hallo, \quoteon(2022-06-24 11:57 - Meli im Themenstart) In der Aufgabe sind zwei Geraden gegeben mit g={(x,y)|2y=x+2} und h={(x,y)|y=-3x+5} und p=(0,1) aus g und q=(1,2) aus h. Wie bestimme ich alle Kongruenzabbildungen von p auf q? \quoteoff Hm. Bei den Translationen und den Spiegelungen gibt es da ja eigentlich jeweils nur eine Möglichkeit. Anders sieht es bei zentrischen Streckungen und bei Rotationen aus. Wo liegt auf jeden Fall das Streck- bzw. das Drehzentrum? Gruß, Diophant


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Meli
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Ist es der Schnittpunkt von den Geraden?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24

\quoteon(2022-06-24 15:03 - Meli in Beitrag No. 2) Ist es der Schnittpunkt von den Geraden? \quoteoff Nein. (Was ist "es")? PS: was suchst du nun: Kongruenzabbildungen, die den Punkt p auf den Punkt q abbilden oder solche, die die Gerade g auf die Gerade h abbilden? Gruß, Diophant


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Meli
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Ich suche Kongruenzabbildungen die p auf q abbilden und die nächste Aufgabe ist es dann die Kongruenzabbildung die p auf q abbilden und g auf h abbilden Gruß Meli


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-24

\quoteon(2022-06-24 15:22 - Meli in Beitrag No. 4) Ich suche Kongruenzabbildungen die p auf q abbilden und die nächste Aufgabe ist es dann die Kongruenzabbildung die p auf q abbilden und g auf h abbilden \quoteoff Ok, aber worin genau besteht denn dein Problem? Für den ersten Teil habe ich dir doch schon eine Antwort geschrieben? Außerdem ergibt dann diese Vermutung... \quoteon(2022-06-24 15:03 - Meli in Beitrag No. 2) Ist es der Schnittpunkt von den Geraden? \quoteoff ...überhaupt keinen Sinn für den ersten Teil, denn bisher wissen die beiden Punkte noch nichts über die beiden Geraden, auf denen sie liegen... Kann es sein, dass dir der Begriff Kongruenzabbildung irgendwie unklar ist? (Desweiteren wäre es hier sehr hilfreich, wenn wir den Aufgabentext im Originalwortlaut vorliegen hätten.) Gruß, Diophant


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Wario
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-24 11:57 - Meli im Themenstart) In der Aufgabe sind zwei Geraden gegeben mit g={(x,y)|2y=x+2} und h={(x,y)|y=-3x+5} und p=(0,1) aus g und q=(1,2) aus h. \quoteoff Also an sich willst Du diejenige Abbildungsmatrix $\def\M{% \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} M=\M$ für die $\def\EqI{\M \begin{pmatrix} x \\ \dfrac{x}{2}+1 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} x \\ -3x+5 \end{pmatrix} } % \begin{array}{l | l} \text{(1)} & \EqI \\ \text{(2)} & \det(M) =1 \\ \end{array}$ mit $x,s ~\in\mathbb{R}$, gilt, bestimmen. (2) wegen dem Lehrsatz: "Jede lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix eine orthogonale Matrix ist, ist eine Kongruenzabbildung." Ja, scheint halbwegs schöne Ergebnisse $A,B,C,D$ zu liefern.


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Nuramon
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) @Wario: Du scheinst orthogonale Abbildungen mit speziellen linearen Abbildungen (also solche mit Determinante $1$) zu verwechseln. Außerdem müssen Kongruenzabbildungen nicht linear sein, sondern nur affin linear.\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 17:45 - Nuramon in Beitrag No. 7) @Wario: Du scheinst orthogonale Abbildungen mit speziellen linearen Abbildungen (also solche mit Determinante $1$) zu verwechseln. Außerdem müssen Kongruenzabbildungen nicht linear sein, sondern nur affin linear. \quoteoff Ok, kannst Du das Gleichungssystem bitte entsprechend korrigieren. Ich bin jetzt da kein Experte.


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Nuramon
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Was die genaue Aufgabenstellung ist, wurde von Meli noch nicht beantwortet. Aber um trotzdem ein bisschen auf Warios Nachfrage einzugehen (die genauen Gleichungen werde ich aber nicht aufstellen): Eine Kongruenzabbildung des $\IR^2$ ist eindeutig festgelegt durch die Bilder dreier nicht kollinearer Punkte. Wähle zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $A,B$ auf $g$ und einen dritten Punkt $C$, der nicht auf $g$ liegt. Was kann man dann über die Bildpunkte von $A,B,C$ unter einer Kongruenzabbildung, die $g$ auf $h$ abbildet, aussagen?\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-26

Ja ok, ich wollte das möglichst allgemein machen, im Unterschied zu dem Ausnutzen eines speziellen Satzes. Dazu dachte ich, mit (1) bestimmt man gemeinhin die Abbildungsmatrix aller Abbildungen einer Geraden auf eine andere Gerade. \quoteon(2022-06-25 17:17 - Wario in Beitrag No. 6) Abbildungsmatrix $\def\M{% \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} M:=\M$ $\def\EqI{\M \begin{pmatrix} x \\ \dfrac{x}{2}+1 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} x \\ -3x+5 \end{pmatrix} } % \begin{array}{l | l} \text{(1)} & \EqI \\ \text{(2)} & \det(M) =1 \\ \end{array}$ mit $x,s ~\in\mathbb{R}$ \quoteoff Nun braucht es aber noch eine zweite Bedingung, so dass die Abbildungsmatrix nur alle Kongruenzabbildungen beschreibt. Aber dazu scheint ja \quoteon(2022-06-25 17:17 - Wario in Beitrag No. 6) (2) wegen dem Lehrsatz: "Jede lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix eine orthogonale Matrix ist, ist eine Kongruenzabbildung." \quoteoff nicht zu reichen. Dann weiß ich gerade nicht, wie ich diesen Weg weiter verfolgen könnte. PS: Vielleicht nochmal anders: Ich würde gerne eine Matrix bestimmen, die alle Kongruenzabbildungen beschreibt. Vielleicht ist das auch keine 2x2-Matrix mehr, da eine Verschiebung vorkommt. Dazu kenne ich mich da gerade zu wenig aus.


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