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Strukturen und Algebra » Ringe » Beweise, dass √3 ∉ ℚ(√7)
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Universität/Hochschule Beweise, dass √3 ∉ ℚ(√7)
Floint
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.06.2022
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  Themenstart: 2022-06-24

Hallo miteinander, Diese Aufgabe wurde im Kontext von Hauptidealringe, Primelemente Teilkörper und Körpererweiterungen gestellt. Die Aufgabe lautet: "Zeigen Sie, dass $\sqrt{3} \not \in \mathbb{Q}(\sqrt{7})$." Ich verstehe leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann. Ich hatte es versucht über eine "rationale Linearkombination" in dem ich mir $\mathbb{Q}(\sqrt{7}) = span{\{\sqrt{7}^i\}} \ für \ i = 1,...,n$ vorgestellt habe, wobei hier der span dementsprechend für $\mathbb{Q}(x)$ angepasst sein sollte. Damit bin ich aber nicht weiter gekommen und bin jetzt so ratlos wie vorher. Ich wäre jedenfalls froh, wenn jemand weiß wie das geht, und mir dabei helfen könnte.🙂 LG Floint


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24

Tipp: $\IQ(\sqrt{7})$ hat eine Basis aus $2$ Elementen. Finde sie.


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Floint
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Danke für den Tipp: Ich habe jetzt zumindest eine Vermutung: Ich denke, die Basis ist $\{\sqrt{7},\frac{1}{\sqrt{7}}\}$, da man ja mithilfe der $7 \in \mathbb{Q}$ nun alle Potenzen mit rationalem Exponenten von $\sqrt{7}$ darstellen kann. Ich weiß, aber leider nicht wie ich zeigen kann, das $\sqrt{3}$ nicht aus der Basis erzeugt werden kann, da mir irrationale Zahlen generell Probleme bereiten.😖


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24

Es geht noch einfacher (bzw. deine Basis ist gar keine, siehe nächster Beitrag von ligning): $\{1,\sqrt{7}\}$ ist eine Basis. Schau dazu in deinen Vorlesungsunterlagen. Ihr hattet sicherlich den Satz, dass $\{1,a,\dotsc,a^{n-1}\}$ eine $K$-Basis von $K(a)$ ist, wenn $a$ algebraisch vom Grad $n$ über $K$ ist. Du musst nun also die Gleichung $\sqrt{3} = a + b \sqrt{7}$ mit $a,b \in \IQ$ zu einem Widerspruch führen. Nun, was sollte hier der erste Schritt sein? Wir haben es mit Wurzeln zu tun, also ...


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-24

$\{ \sqrt{7}, \frac{1}{\sqrt{7}} \}$ ist übrigens linear abhängig, also keine Basis.


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Floint
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Ja, stimmt $\frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$ daher ist das was ich genannt hatte keine Basis. Wenn du schon so auf die Wurzel hinweist, würde ich mal auf quadrieren oder erweitern tippen. $$\implies 3 = (a + b\sqrt{7})\sqrt{3} = a\sqrt{3} + b\sqrt{21}$$ $$\implies a = \frac{3-b\sqrt{21}}{\sqrt{3}}$$ Dann kann man das noch erweitern, dass da steht \[a = \sqrt{3} - b\frac{\sqrt{63}}{3}\] dann kann sehen, dass: $$b \in \mathbb{Q} \implies a \not \in \mathbb{Q}$$ Widerspruch, da $$a \in \mathbb{Q}. \quad \Box$$ Stimmt der Beweis so? Ich bin mir nämlich nicht sicher ob man aus der Gleichung \[a = \sqrt{3} - b\frac{\sqrt{63}}{3}\] sehen kann, dass a wirklich nicht rational ist, wie schon in einer Antwort angemerkt, habe ich so meine Probleme mit irrationalen Zahlen.😖


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Floint
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Ich glaube ich habs. $b = \frac{\sqrt{3}-a}{\sqrt{7}}$ Angenommen a und b wären rational und gekürzt soweit es geht. $$\implies \frac{b_1}{b_2} = \frac{\sqrt{3} - \frac{a_1}{a_2}}{\sqrt{7}}, für a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \\ \implies b_1 = \frac{\sqrt{3} - \frac{a_1}{a_2}}{\sqrt{7}}b_2 $$ Für diese Gleichung gibt es zwei Lösungen: $$a_2=\frac{a_1}{\sqrt{3}}, b_1 = 0, a_1b_2 \neq 0 \text{ oder } \\ b_2 = \frac{\sqrt{7}a_2b_1}{\sqrt{3}a_2-a_1}, a_2b_1 \neq 0, \sqrt{3}a_2-a_1 \neq 0$$ $$a_1,a_2,b_1 \in \mathbb{Z} \implies b_2 \not \in \mathbb{Z}$$ $$a \in \mathbb{Q} \implies b \not \in \mathbb{Q}$$ Aber es kann auch sein, dass ich mich jetzt völlig in dieser Gleichung verlaufen habe.


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-24

Ehrlich gesagt habe ich mir das jetzt nicht im Detail angesehen, aber es sieht mir nicht besonders zielführend aus. Ist in jedem Falle unvollständig (das erkennst du auch daran, dass du dir nicht selbst sicher bist, ob die Schlüsse in Ordnung sind). Quadriere die Gleichung $\sqrt{3} = a + b \sqrt{7}$ lieber (anstatt sie zu erweitern). Was steht dann da? Löse die Gleichung anschließend nach $\sqrt{7}$ auf. Beachte auch, dass man nicht immer durch $0$ teilen kann ($\leadsto$ Fallunterscheidungen).


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Floint
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Ok ich hatte mich wirklich verrannt. Damit das hier im Forum nochmal vollständig steht: $$\implies 3 = (a + b\sqrt{7})^2 \\ \implies 3 = a^2 + 2\sqrt{7}ab + 7b^2\\ \implies \frac{3-a^2-7b^2}{2ab} = \sqrt{7}\\ \implies \frac{3-a^2-7b^2}{2ab}\text{ ist irrational, obwohl } \mathbb{Q} \text{ abgeschlossen ist unter Addition und Multiplikation}$$ Damit wäre ein Widerspruch gezeigt, und damit auch, dass $\sqrt{3} \not \in \mathbb{Q}(\sqrt{7})$ Das sollte es gewesen sein. Danke @Triceratops und @ligning 🙂 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-24

Das ist viel besser. Aber es ist noch nicht ganz richtig. Wie gesagt, man kann nicht immer durch $0$ teilen. Beachte zum Beispiel, dass dein Beweis oben genauso $\sqrt{3} \notin \IQ(\sqrt{3})$ zeigen würde (was falsch ist).


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helmetzer
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-25

Man muss also noch die Fälle \(a = 0\) , \(b = 0\) ausschließen.


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