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Mathematik » Geometrie » Radius berechnen von Kreisausschnitt
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Beruf J Radius berechnen von Kreisausschnitt
AndreaP
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  Themenstart: 2022-06-24

Hallo Leute😃, ich habe folgende Aufgabe, respektive ein Holzstück bei dem X und Y bekannt sind. Kann ich mit diesen Angaben den Radius berechnen? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55688_IMG_9065.jpg


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! \quoteon(2022-06-24 13:46 - AndreaP im Themenstart) Kann ich mit diesen Angaben den Radius berechnen? \quoteoff Ja, das geht. Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem (mit Mittelpunkt im Ursprung): \[f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\] Darin ist \(r\) der Radius. Auf dein Problem umgemünzt könntest du dir den Mittelpunkt des Kreises im Ursprung vorstellen und das ganze an der x-Achse nach oben spiegeln. Dann könnte man die obige Funktionsgleichung anwenden und die beiden gegebenen Strecken folgendermaßen anwenden: der Punkt, wo die senkrechte Strecke \(x\) den Kreis trifft hätte dann die Koordinaten \(\left(-y,r-x\right)\). Wenn man damit in die obige Funktionsgleichung eingeht und die entstehende Gleichung nach dem Radius auflöst, kann man diesen berechnen: \[r-x=\sqrt{r^2-(-y)^2}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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AndreaP
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

\quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem \quoteoff Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider.


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-06-24 14:43 - AndreaP in Beitrag No. 2) \quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem \quoteoff Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider. \quoteoff Sagt dir der Satz des Pythagoras etwas? Das ist alles was du dazu benötigst. Sei $K$ ein Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $(0,0)\in \mathbb R^2$. Sei dann $(x,y)\in K$ ein beliebiger Punkt auf $K$. Man betrachte nun das rechtwinklige Dreieck, das die Punkte $(0,0)$, $(x,0)$ und $(x,y)$ miteinander verbindet. Nach Pythagoras gilt dann $x^2+y^2=r^2$. Schränkt man sich auf Punkte $(x,y)$ mit $y>0$ ein (was im Wesentlichen dem Betrachten des "oberen Halbkreises" entspricht), dann kann man das eindeutig in der Form $$ y=y(x)=\sqrt{r^2-x^2} $$ schreiben. LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-24 14:43 - AndreaP in Beitrag No. 2) \quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem \quoteoff Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider. \quoteoff Ok, dann rechnen wir einfach mal zuende. Es ist \[r-x=\sqrt{r^2-y^2}\] Die Gleichung quadrieren wir: \[(r-x)^2=r^2-y^2\] Links die zweite Binomische Formel anwenden: \[r^2-2xr+x^2=r^2-y^2\] \(r^2\) subtrahieren (auf beiden Seiten, versteht sich): \[-2xr+x^2=-y^2\] Das stelle ich jetzt mit Hilfe der Grundrechenarten vollends nach \(r\) um: \[\ba -2xr+x^2&=-y^2\\ \\ x^2+y^2&=2xr\\ \\ r&=\frac{x^2+y^2}{2x} \ea\] Auf der rechten Seite kannst du jetzt deine gemessenen Werte für \(x\) und \(y\) einsetzen. Für \(r\) bekommst du damit den gesuchten Kreisradius heraus. PS (falls du es nachvollziehen möchtest): das alles basiert auf dem Satz des Pythagoras. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-24

Ich weiß nicht, was hier alles Kompliziertes gemacht wird, aber das ist doch einfach elementargeometrischer Pythagoras: $ \pgfmathsetmacro\x{2} \pgfmathsetmacro\y{3} \pgfmathsetmacro\r{(\x^2 + \y^2)/(2*\x)} \begin{tikzpicture}[scale=0.75, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, ] \coordinate[](M) at (0,0); \coordinate[label=below:](UR) at (0,-\r); \coordinate[label=below:](UL) at (-\y,-\r); \draw[](M) circle[radius=\r]; \draw[] (UR) -- (UL) node[midway, below]{$y$} -- +(0,\x) node[midway, left]{$x$}; \draw[](M) -- (0,-\r+\x) coordinate[label=right:](MR) node[midway, right]{$r-x$} -- +(-\y,0) coordinate[label=](P) node[midway, below]{$y$} -- (M) node[midway, above]{$r$}; \draw[] (MR)-- (UR) node[midway, right]{$x$}; \draw[thick] (UR)-- (UL) -- (P); \draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3, % pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\cdot$", ] {angle =M--MR--P}; %% Punkte \foreach \P in {P, M, MR} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt); \node[anchor=north west, text width=1.75*\r cm, yshift=-5mm, fill=lightgray, align=left] at (UL){ $r^2 = y^2 +(r-x)^2 ~\Leftrightarrow~ r =\dfrac{x^2+y^2}{2x}$ \\ Beispielwerte: \\ $\begin{array}{l} x = \x \text{ cm}; ~~~ %\\ y = \y \text{ cm} \\ r = \r \text{ cm} \\ \end{array}$ }; \end{tikzpicture} $


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AndreaP
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Vielen Dank an alle Beteiligten👌! Es hat tatsächlich geklappt 🤗 und alle Infos waren sehr hilfreich um die Berechnung zu machen. Ohne eure Hilfe wäre ich nie weiter gekommen 😎.


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