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  Radius berechnen von Kreisausschnitt |
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AndreaP
Neu 
Dabei seit: 24.06.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-06-24
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Hallo Leute😃, ich habe folgende Aufgabe, respektive ein Holzstück bei dem X und Y bekannt sind. Kann ich mit diesen Angaben den Radius berechnen?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55688_IMG_9065.jpg
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2022-06-24 13:46 - AndreaP im Themenstart)
Kann ich mit diesen Angaben den Radius berechnen?
\quoteoff
Ja, das geht. Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem (mit Mittelpunkt im Ursprung):
\[f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\]
Darin ist \(r\) der Radius.
Auf dein Problem umgemünzt könntest du dir den Mittelpunkt des Kreises im Ursprung vorstellen und das ganze an der x-Achse nach oben spiegeln. Dann könnte man die obige Funktionsgleichung anwenden und die beiden gegebenen Strecken folgendermaßen anwenden: der Punkt, wo die senkrechte Strecke \(x\) den Kreis trifft hätte dann die Koordinaten \(\left(-y,r-x\right)\).
Wenn man damit in die obige Funktionsgleichung eingeht und die entstehende Gleichung nach dem Radius auflöst, kann man diesen berechnen:
\[r-x=\sqrt{r^2-(-y)^2}\]
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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AndreaP
Neu
Dabei seit: 24.06.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24
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\quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem
\quoteoff
Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider.
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nzimme10
Senior
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Mitteilungen: 1529
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-06-24 14:43 - AndreaP in Beitrag No. 2)
\quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem
\quoteoff
Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider.
\quoteoff
Sagt dir der Satz des Pythagoras etwas? Das ist alles was du dazu benötigst.
Sei $K$ ein Kreis mit Radius $r>0$ und Mittelpunkt $(0,0)\in \mathbb R^2$. Sei dann $(x,y)\in K$ ein beliebiger Punkt auf $K$. Man betrachte nun das rechtwinklige Dreieck, das die Punkte $(0,0)$, $(x,0)$ und $(x,y)$ miteinander verbindet.
Nach Pythagoras gilt dann $x^2+y^2=r^2$.
Schränkt man sich auf Punkte $(x,y)$ mit $y>0$ ein (was im Wesentlichen dem Betrachten des "oberen Halbkreises" entspricht), dann kann man das eindeutig in der Form
$$
y=y(x)=\sqrt{r^2-x^2}
$$
schreiben.
LG Nico\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9543
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-06-24 14:43 - AndreaP in Beitrag No. 2)
\quoteon Kennst du die Funktionsgleichung eines Halbkreises im xy-Koordinatensystem
\quoteoff
Leider nicht nein 😒. Das übersteig meine Mathe Kenntnisse leider.
\quoteoff
Ok, dann rechnen wir einfach mal zuende. Es ist
\[r-x=\sqrt{r^2-y^2}\]
Die Gleichung quadrieren wir:
\[(r-x)^2=r^2-y^2\]
Links die zweite Binomische Formel anwenden:
\[r^2-2xr+x^2=r^2-y^2\]
\(r^2\) subtrahieren (auf beiden Seiten, versteht sich):
\[-2xr+x^2=-y^2\]
Das stelle ich jetzt mit Hilfe der Grundrechenarten vollends nach \(r\) um:
\[\ba
-2xr+x^2&=-y^2\\
\\
x^2+y^2&=2xr\\
\\
r&=\frac{x^2+y^2}{2x}
\ea\]
Auf der rechten Seite kannst du jetzt deine gemessenen Werte für \(x\) und \(y\) einsetzen. Für \(r\) bekommst du damit den gesuchten Kreisradius heraus.
PS (falls du es nachvollziehen möchtest): das alles basiert auf dem Satz des Pythagoras.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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Wario
Aktiv
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Mitteilungen: 947
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-24
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Ich weiß nicht, was hier alles Kompliziertes gemacht wird, aber das ist doch einfach elementargeometrischer Pythagoras:
$
\pgfmathsetmacro\x{2}
\pgfmathsetmacro\y{3}
\pgfmathsetmacro\r{(\x^2 + \y^2)/(2*\x)}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
\coordinate[](M) at (0,0);
\coordinate[label=below:](UR) at (0,-\r);
\coordinate[label=below:](UL) at (-\y,-\r);
\draw[](M) circle[radius=\r];
\draw[] (UR) -- (UL) node[midway, below]{$y$}
-- +(0,\x) node[midway, left]{$x$};
\draw[](M) -- (0,-\r+\x) coordinate[label=right:](MR) node[midway, right]{$r-x$} -- +(-\y,0) coordinate[label=](P) node[midway, below]{$y$}
-- (M) node[midway, above]{$r$};
\draw[] (MR)-- (UR) node[midway, right]{$x$};
\draw[thick] (UR)-- (UL) -- (P);
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =M--MR--P};
%% Punkte
\foreach \P in {P, M, MR} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\node[anchor=north west, text width=1.75*\r cm, yshift=-5mm, fill=lightgray, align=left] at (UL){
$r^2 = y^2 +(r-x)^2
~\Leftrightarrow~
r =\dfrac{x^2+y^2}{2x}$ \\
Beispielwerte: \\
$\begin{array}{l}
x = \x \text{ cm}; ~~~ %\\
y = \y \text{ cm} \\
r = \r \text{ cm} \\
\end{array}$
};
\end{tikzpicture}
$
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AndreaP
Neu
Dabei seit: 24.06.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24
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Vielen Dank an alle Beteiligten👌! Es hat tatsächlich geklappt 🤗 und alle Infos waren sehr hilfreich um die Berechnung zu machen. Ohne eure Hilfe wäre ich nie weiter gekommen 😎.
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AndreaP hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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