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Universität/Hochschule Folge finden
Student10023
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  Themenstart: 2022-06-29

Hallo, folgende Aufgabe: Gegeben ist eine positive rationale Zahl $\beta$, die kleiner als eins sein soll. Ich soll nun eine fallende Nullfolge $(a_k)$ finden, sodass die Folge: $ S_n = \frac{1}{n^\beta} \sum_{j=1}^n a_j \to \infty$ Ich habe verschieden Folgen $a_k$ ausprobiert (z.B $a_k = \frac{1}{k}, \frac{1}{k^{1-\beta}}$) und immer versucht das in irgendeiner Weise auf die harmonische Reihe zurückzuführen, bin aber gescheitert. Insbesondere weiß ich nicht so recht, wie ich benutzen kann, dass $\beta$ rational ist (das wird da ja nicht aus Spaß stehen). hat jemand eine Idee?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-29

Moin Student10023, die Rationalität von $\beta$ tut nichts zur Sache, für jedes $\beta \in (0,1)$ lässt sich eine passende Folge finden. Deine Idee ist dabei auch schon i.W. die zielführende. Betrachte aber allgemeiner die Folge $(a_k)$ mit $a_k = 1/k^{\alpha}$ und $\alpha \in (0,1)$ und zeige, dass dafür \[\sum_{k = 1}^n a_k = \frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha} + O(1)\] gilt. Um das zu tun, kann man z.B. das folgende (oft durchaus nützliche) Resultat verwenden: Sei $n \in \mathbb{N}$ und $f: [0,n] \to \mathbb{R}$. Mittels Aufteilung von $[0,n]$ in die Intervalle $[0,1], \ldots, [n-1,n]$ und partieller Integration zeigt man, dass gilt: Ist $f \in C^1$, so gilt \[\sum_{k = 1}^n f(k) - \int_0^n f(x) \, dx = \int_0^n (x-\lfloor x \rfloor) f'(x) \, dx.\] Wähle schließlich $\alpha$ passend. LG, semasch


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