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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Bijektivität und Umkehrfunktion einer Funktion R^2->R^2
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Universität/Hochschule J Bijektivität und Umkehrfunktion einer Funktion R^2->R^2
MasterWizz
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  Themenstart: 2022-06-30

Hi Leute :) Gegeben sei die Funktion \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\ f(x,y)=\begin{pmatrix}(x-y)^3\\(x+y)^5\end{pmatrix}\) Eine der Aufgaben ist jetzt zu zeigen, dass die Funktion \(f\) bijektiv ist und die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) auf \(\mathbb{R}^2\) zu bestimmen. Ich bin etwas verwundert über die Aufgabe. Soweit ich weiß, ist die Funktion genau dann lokal invertierbar, wenn die Determinante ihrer Jacobimatrix ungleich Null ist. Das ist aber nur für alle \(y\neq \pm x\) erfüllt. Wenn also die Funktion in den Punkten mit \(y=\pm x\) nicht einmal lokal invertierbar sein kann, wie soll die Funktion dann (global) auf \(\mathbb{R}^2\) invertierbar sein bzw. bijektiv sein, was ja äquivalent zur globalen Invertierbarkeit ist?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-06-30 14:03 - MasterWizz im Themenstart) Soweit ich weiß, ist die Funktion genau dann lokal invertierbar, wenn die Determinante ihrer Jacobimatrix ungleich Null ist. \quoteoff Das "genau dann" ist nicht richtig. Die Bedingung, dass die Jacobi-Matrix an einem Punkt invertierbar ist, hat mehr mit der Differenzierbarkeit der (lokalen) Inversen zu tun. Betrachte z.B. $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ gegeben durch $f(x)=x^3$. $f$ ist global invertierbar, aber es ist $f'(0)=0$. Letzteres sorgt dann eben dafür, dass $f^{-1}$ in $f(0)=0$ nicht differenzierbar ist. Edit: Zumal das "genau dann" schon deshalb nicht ganz koscher ist, weil nicht jede Funktion überhaupt eine Jacobi-Matrix hat. LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-30

Hallo, rechne doch einmal ganz klassisch nach, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 14:09 - Diophant in Beitrag No. 2) rechne doch einmal ganz klassisch nach, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist... \quoteoff Da man die Inverse auch explizit angeben soll, bietet sich das hier nicht unbedingt an. Man sollte eher versuchen, explizit eine Inverse hinzuschreiben. LG Nico


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-30

@Nico: \quoteon(2022-06-30 14:27 - nzimme10 in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-06-30 14:09 - Diophant in Beitrag No. 2) rechne doch einmal ganz klassisch nach, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist... \quoteoff Da man die Inverse auch explizit angeben soll, bietet sich das hier nicht unbedingt an. Man sollte eher versuchen, explizit eine Inverse hinzuschreiben. \quoteoff Die Rechnung für die Surjektivität liefert hier doch die Inverse. 😉 Gruß, Diophant


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MasterWizz
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Achso ich verstehe.. @nzimme10: Ich hab noch mal nachgeschaut und es ist, wie du sagst, doch nur eine Implikation. Wenn die Determinante der Jacobimatrix ungleich Null ist in einem Punkt, dann folgt daraus die lokale Invertierbarkeit in einer offenen Umgebung um diesen Punkt und insbesondere die stetige Differenzierbarkeit der (lokalen) Umkehrfunktion in dieser Umgebung. @Diophant: Wenn ich es schaffe die Umkehrfunktion anzugeben, dann folgt daraus die Bijektivität, richtig? Also setze ich \[f(x,y)=\begin{pmatrix}(x-y)^3\\(x+y)^5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\] und stelle die Gleichungen nach \(x\) und \(y\) um. Es ergibt sich \[f^{-1}(a,b)=\begin{pmatrix}\frac12(\sqrt[5]{b}+\sqrt[3]{a})\\\frac12(\sqrt[5]{b}-\sqrt[3]{a})\end{pmatrix}.\] Die Funktion \(f\) ist injektiv, weil es für jeden Funktionswert \((a,b)\) nur genau einen Punkt \((x,y)\) gibt, der auf diesen Funktionswert abgebildet wird. Und Surjektiv ist \(f\), weil jeder Punkt \((a,b)\in\mathbb{R}^2\) in \(f^{-1}\) eingesetzt werden kann und damit von \(f\) angenommen werden kann. Die Funktion \(f\) ist also bijektiv mit der Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Zusammenfassung: Die lokale Invertierbarkeit konnte nicht überall mit der Jacobimatrix nachgewiesen werden (da diese auch eher auf eine Aussage über die Differenzierbarkeit abzielt). Allerdings konnte dennoch die globale Intervierbarkeit nachgewiesen werden und damit automatisch auch die Bijektivität. Stimmt das so?? Edit: Ist die Funktion damit dann auch überall lokal invertierbar? Weil das war auch eine Teilaufgabe und ich hatte erst geschrieben, dass sie nur für \(y\neq \pm x\) lokal invertierbar ist.. ZUSATZFRAGE: Zum Abschluss muss ich noch bestimmen, in welchen Punkten die Umkehrfunktion differenzierbar ist. Soweit ich jetzt verstanden habe, ist die Umkehrfunktion stetig differenzierbar, wenn die Determinante der Jacobimatrix ungleich Null ist. Was ist jetzt aber mit all den Punkten, in denen \(y=\pm x\) ist? Über die Differenzierbarkeit in diesen Punkten trifft der Satz keine Aussage, oder? Wie würdet ihr hier vorgehen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-06-30 14:45 - MasterWizz in Beitrag No. 5) @Diophant: Wenn ich es schaffe die Umkehrfunktion anzugeben, dann folgt daraus die Bijektivität, richtig? Also setze ich \[f(x,y)=\begin{pmatrix}(x-y)^3\\(x+y)^5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\] und stelle die Gleichungen nach \(x\) und \(y\) um. Es ergibt sich \[f^{-1}(a,b)=\begin{pmatrix}\frac12(\sqrt[5]{b}+\sqrt[3]{a})\\\frac12(\sqrt[5]{b}-\sqrt[3]{a})\end{pmatrix}\]. Die Funktion \(f\) ist injektiv, weil es für jeden Funktionswert \((a,b)\) nur genau einen Punkt \((x,y)\) gibt, der auf diesen Funktionswert abgebildet wird. Und Surjektiv ist \(f\), weil jeder Punkt \((a,b)\in\mathbb{R}^2\) in \(f^{-1}\) eingesetzt werden kann und damit von \(f\) angenommen werden kann. Die Funktion \(f\) ist also bijektiv mit der Umkehrfunktion \(f^{-1}\). \quoteoff So hatte ich das im Prinzip gemeint. (Bei der Schreibweise von Wurzeln mit potentiell negativen Radikanden musst du selbst entscheiden, ob du das so aufschreiben kannst. Das hängt noch von den verwendeten Definitionen ab.) Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-30

Das ist genau was ich meinte. Wenn du bereits eine Inverse hinschreiben kannst, dann erübrigt es sich, die Injektivität zu zeigen. Zur Differenzierbarkeit: An den Punkten, wo die Jacobi-Matrix invertierbar ist, kannst du dich an dem Umkehrsatz bedienen. Bei den anderen Punkten musst du eventuell nochmal nachdenken. LG Nico


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MasterWizz
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Achso, also ist die Funktion tatsächlich in allen Punkten differenzierbar (sogar stetig differenzierbar), in denen \(y\neq \pm x\) gilt. Und in den Punkten, in denen \(y = x\) gilt, muss ich die Funktion gesondert untersuchen. Da allerdings gilt \(y=x \Leftrightarrow a=0\) und \(y=-x\Leftrightarrow b=0\) und die Funktionen definiert über die dritte und fünfte Wurzel in \(0\) nicht differenzierbar sind, ist auch \(f\) nicht differenzierbar in den Punkten \(y=\pm x\). Richtig? Nur bitte beantwortet mir nur noch eine letzte Frage dazu: In der ersten Teilaufgabe sollten alle Punkte genannt werden, in denen die Funktion lokal invertierbar ist. Da aber in der Teilaufgabe darauf die globale Invertierbarkeit bewiesen wurde, erübrigt sich doch die erste Teilaufgabe, oder? Aus globaler Invertierbarkeit folgt lokale Invertierbarkeit, richtig?


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-06-30 15:23 - MasterWizz in Beitrag No. 8) Aus globaler Invertierbarkeit folgt lokale Invertierbarkeit, richtig? \quoteoff Natürlich. $\mathbb R^2$ ist eine Umgebung jedes Punktes. Lokal invertierbar bedeutet ja: Für alle $(x,y)$ gibt es Umgebungen $U$ von $(x,y)$ und $V$ von $f(x,y)$, so dass $f|_U\colon U\to V$ invertierbar ist. $U=V=\mathbb R^2$ ist auch erlaubt. \quoteon Achso, also ist die Funktion tatsächlich in allen Punkten differenzierbar (sogar stetig differenzierbar), in denen $y\neq \pm x$ gilt. Und in den Punkten, in denen y=x gilt, muss ich die Funktion gesondert untersuchen \quoteoff Die Inverse ist zunächst in allen Punkten außer denen der Form $f(x,\pm x)$ (stetig) differenzierbar. In diesen Letzteren hilft dir der Umkehrsatz nicht weiter. Hier könntest du z.B. mit der Definition der Differenzierbarkeit arbeiten. LG Nico \(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 15:29 - nzimme10 in Beitrag No. 9) Natürlich. $\mathbb R^2$ ist eine Umgebung jedes Punktes. Lokal invertierbar bedeutet ja: Für alle $(x,y)$ gibt es Umgebungen $U$ von $(x,y)$ und $V$ von $f(x,y)$, so dass $f|_U\colon U\to V$ invertierbar ist. $U=V=\mathbb R^2$ ist auch erlaubt. \quoteoff Stimmt, jetzt ist auch für mich offensichtlich.. \quoteon Die Inverse ist zunächst in allen Punkten außer denen der Form $f(x,\pm x)$ (stetig) differenzierbar. In diesen Letzteren hilft dir der Umkehrsatz nicht weiter. Hier könntest du z.B. mit der Definition der Differenzierbarkeit arbeiten. \quoteoff Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt, wenn dort der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Das ist aber bei den Funktionen \(g(t)=\sqrt[3]{t}\) und \(h(t)=\sqrt[5]{t}\) nicht der Fall in \(t=0\). Auf diese Fälle würde es aber hinauslaufen, wenn wir die Differenzierbarkeit von \(f^{-1}\) in den Punkten mit \(y=\pm x\) untersuchen. Das ist die Antwort, richtig? 🙂


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nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) $f^{-1}$ ist genau dann differenzierbar, wenn jede Komponente von $f^{-1}$ es ist. Zu Prüfen bleibt daher noch die Differenzierbarkeit der Komponenten von $f^{-1}$ in den Punkten der Form $$ f(x,x)=(0,32x^5) \quad \text{ und } \quad f(x,-x)=(8x^3,0) $$ mit $x\in \mathbb R$. Insbesondere wollen wir nicht die Differenzierbarkeit in den Punkten mit $y=\pm x$ untersuchen (außer natürlich der Punkt $(0,0)$). Da du dir selbst unsicher bist, solltest du auch ein sauberes und vollständiges Argument vorlegen und nicht vorschnell mit kurzen Erläuterungen abschließen. Schau dir doch in den Punkten dieser Form zunächst mal die partielle Differenzierbarkeit an etc. So dass du auch am Ende selbst überzeugt bist von dem, was du tust. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

In Ordnung, dann noch mal ordentlich. Die Umkehrfunktionen lauten in den beiden Fällen (I) \(y=x:\quad f^{-1}(0,b)=\begin{pmatrix}0\\\frac12\sqrt[5]{b}\end{pmatrix}\qquad\) und\(\quad\) (II) \(y=-x:\quad f^{-1}(a,0)=\begin{pmatrix}\frac12\sqrt[3]{a}\\0\end{pmatrix}\) und sind beide nicht in \((a,b)=(0,0)\) differenzierbar. In allen anderen Punkten allerdings schon. Das ist die Antwort. \(f\)ist überall differenzierbar, \(f^{-1}\) überall außer im Koordinatenursprung.


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nzimme10
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Nein, das stimmt nicht. Du sollst diese Punkte ja nicht einfach in die Inverse einsetzen. Du sollst die Inverse in diesen Punkte (also einfach auf den Koordinatenachsen) auf Differenzierbarkeit untersuchen. Dazu habe ich vorgeschlagen, dass du dir zunächst einmal die partielle Differenzierbarkeit ansiehst. Überprüfe also (die Komponenten von) $f^{-1}$ auf partielle Differenzierbarkeit auf den Koordinatenachsen und zwar in jedem Punkt in beide Koordinatenrichtungen. Edit: Wenn du dabei richtig vorgehst, dann reicht es sogar nur eine der beiden Komponenten anzusehen. Um dich ein bisschen zu unterstützen gebe ich dir nun folgende Hinweise: Wir betrachten die erste Komponente $f_1^{-1}$ von $f^{-1}$. Dann solltest du folgendes zeigen können: - Für Punkte der Form $(x,0)$ mit $x\neq 0$ ist $f_1^{-1}$ nicht partiell nach $y$ differenzierbar. - Für Punkte der Form $(0,y)$ mit $y\neq 0$ ist $f_1^{-1}$ nicht partiell nach $x$ differenzierbar. - In $(0,0)$ ist $f_1^{-1}$ weder nach $x$ noch nach $y$ partiell differenzierbar. Also: $f_1^{-1}$ ist auf den Koordinatenachsen nirgendwo partiell differenzierbar und kann daher auch insbesondere nicht (total) differenzierbar sein. Folglich ist auch $f^{-1}$ auf den Koordinatenachsen nirgendwo (total) differenzierbar. LG Nico \(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Ok ich versuchs noch mal. Danke für deine Geduld... Ich untersuche die partielle Differenzierbarkeit von \(f^{-1}\) nach \(a\) auf der Koordinatenachse \((0,b)\): \[\frac{\partial}{\partial a}f^{-1}(0,b) = \lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f^{-1}(h,b)-f^{-1}(0,b)}{h} = \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}h^{-\frac23}\\h^{-\frac23}-b^{\frac13}\end{pmatrix}\] und dieser Grenzwert existiert nicht. Das heißt \(f^{-1}\) ist nicht partiell nach \(a\) differenzierbar auf der Koordinatenachse \((0,b)\). Damit ist die Funktion \(f^{-1}\) auch nicht differenzierbar in alle diesen Punkten \((0,b)\). Analog kann gezeigt werden, dass die Funktion auch nicht differenzierbar in den Punkten \((a,0)\) ist. Stimmt es jetzt?


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nzimme10
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber hatte meinen vorherigen Beitrag dahingehend nochmal erweitert. So könnte man das also zeigen, ja. Die Frage ist meiner Meinung nach etwas subtil und man sollte eben genau hinsehen. Dein Endergebnis stimmt ja nun mit deiner anderen "Lösung" gar nicht mehr überein. Übrigens kann man deine andere "Lösung" auch auf andere Weise widerlegen. Wenn $f^{-1}$ in einer offenen Umgebung eines Punktes $f(x,y)$ differenzierbar ist, dann hat man $(f^{-1}\circ f)(x,y)=(x,y)$ auf dieser Umgebung und somit auch $$ J_{f^{-1}}(f(x,y))\cdot J_f(x,y)=1. $$ Daraus würde also dann auch die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix von $f$ in $(x,y)$ folgen. Es kann also nicht sein, dass $f^{-1}$ überall, außer im Ursprung differenzierbar ist, weil sonst auch $J_f(x,y)$ in vielen Punkten invertierbar sein müsste, wo sie es nicht ist. Dennoch zeigt auch dieses Argument alleine nur, dass es keine offene Menge gibt, die einen Punkt auf den Koordinatenachsen enthält, auf der $f^{-1}$ differenzierbar ist. Man sollte also genau hinsehen und das Argument mittels partiellen Ableitungen halte ich in diesem Fall für am besten geeignet, auf jeden Fall dann, wenn man sich selbst unsicher ist. LG Nico\(\endgroup\)


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MasterWizz
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Stimmt, das Argument mit den Jacobimatrizen ist auch sehr überzeugend. Hätte es an dieser Stelle denn dann nicht auch gereicht einfach die Jacobimatrix auszurechnen in allen Punkten, in denen sie existiert \[J_{f^{-1}}(a,b)=\frac12\begin{pmatrix}\frac13 a^{-\frac23} & \frac15 b^{-\frac45}\\ -\frac13 a^{-\frac23} & \frac15 b^{-\frac45}\end{pmatrix}\] und dann schlussfolgern, dass die Koordinatenachsen nicht eingesetzt werden dürfen? Edit: Oder würde das nur zeigen, dass \(f^{-1}\) auf den Koordinatenachsen nicht stetig differenzierbar ist?


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tactac
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Wenn Funktionen spezielle Relationen sind (was ja angeblich offiziell "für die meisten Mathematiker" der Fall ist), dann ist die "explizite Angabe" einer Inversen ganz einfach, wenn man bereits Injektivität und Surjektivität gezeigt hat: $f\colon A \to B$ ist eine bestimmte Teilmenge von $A \times B$. Daraus kann man eine Teilmenge von $B \times A$ basteln, nämlich $f^\text{op} := \{(b,a) \mid (a,b)\in f\}$. Man muss jetzt nur noch zeigen, dass $f^\text{op}$ eine Funktion $B \to A$ ist (das folgt aber total trivial aus der Injektivität und der Surjektivität von $f$), und dann ist $f^{-1} := f^\text{op}$ schon eine gültige Antwort! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-06-30

"Überall auszurechnen wo sie existiert" benötigt ja bereits die Information, an welchen Punkten die partiellen Ableitungen in jede Richtung existieren. Das kann sicherlich ein guter Hinweis sein, dass die Matrix an den fraglichen Punkten nicht existiert, aber zeigen tut es das noch nicht. Es wären weitere Überlegungen notwendig. Du gehst ja unter anderem davon aus, dass die partiellen Ableitungen der Inversen stetig sein müssen (auf der Menge aller Punkte wo sie existieren) für diese Argumentation. Ich würde wie gesagt bei dem ausführlicheren Argument bleiben. Nur weil die partiellen Ableitungen nicht stetig sind folgt ja eben nicht, dass die Funktion in solch einem Punkt nicht trotzdem partiell differenzierbar sein kann. LG Nico [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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MasterWizz
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Super, vielen Dank für deine Zeit und deine Ausführungen. Du hast mir wieder sehr weiter geholfen! :)


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