Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Torus-Gleichung nach allen Variablen lösen
Autor
Universität/Hochschule J Torus-Gleichung nach allen Variablen lösen
Oskar-G
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2022-06-30

Wir sollen zeigen, dass die Gleichung g(x,y,z) = $(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2 - 4R^2(x^2+y^2) = 0$ Nach jeder Variable in jedem Toruspunkt lösbar ist Nach dem Satz über implizite Funktionen reicht es ja zu zeigen, dass $D_yg(x,y,z)$ $\neq$ 0 ist, also die partielle Ableitung nach z $\neq$ 0 durch Rechen bekomme ich heraus das $4z(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2) \neq 0$ sein muss und mit der Lösungsgleichung lässt sich ja substituieren, dass $(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2) = 2Rsqrt(x^2+y^2)$ ist also muss nur gelten, dass $4z(2Rsqrt(x^2+y^2)) \neq 0$ ist das ganze ist ja nur dann 0, wenn entweder z=0 ist oder $x^2+y^2=0$ (↔ x=0 und y=0) man kann dann ziemlich leicht rechen, dass g(0,0,z) kein toruspunkt ist so nun aber zu meinem Problem, und zwar wenn man g(x,y,z) überprüft, bekomme ich raus, dass $x^2+y^2=(R+r)^2$ oder $x^2+y^2=(R-r)^2$, aber ist ja möglich z.B. wenn R=2 r=1 dann ist ja $x^2+y^2=3^2$ und das hat ja Lösungen für x und y z.b. x=0, y=3 dann ist $g(0,3,0) = (0^2+3^2+0^2+2^2-1^2)^2-4*2^2(0^2+3^2) = (9+4-1)^2 - 16*9 = 144-144 = 0 $ Ist nun also mein ganzer Ansatz falsch oder hab ich einfach nur dumm gerechnet?


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1641
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wenn du vor und nach jeder Gleichung noch ein Dollar-Zeichen tippst, dann sieht das schon deutlich besser aus (bzw. vor eine abgesetzte Gleichung und danach jeweils ein doppeltes Dollar-Zeichen). $\neq$ bekommst du dann durch Tippen von \neq. LG Nico \quoteon(2022-06-30 16:00 - Oskar-G im Themenstart) Wir sollen zeigen, dass die Gleichung $$ g(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2 - 4R^2(x^2+y^2) = 0 $$ Nach jeder Variable in jedem Toruspunkt lösbar ist Nach dem Satz über implizite Funktionen reicht es ja zu zeigen, dass $D_yg(x,y,z) \neq 0$ ist, also die partielle Ableitung nach $z \neq 0$ durch Rechen bekomme ich heraus das $4z(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2) \neq 0$ sein muss und mit der Lösungsgleichung lässt sich ja substituieren, dass $(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2) = 2R\sqrt{x^2+y^2}$ ist also muss nur gelten, dass $4z(2R\sqrt{x^2+y^2}) \neq 0$ ist das ganze ist ja nur dann $0$, wenn entweder $z=0$ ist oder $x^2+y^2=0$ (↔ $x=0$ und $y=0$) man kann dann ziemlich leicht rechen, dass $g(0,0,z)$ kein toruspunkt ist so nun aber zu meinem Problem, und zwar wenn man $g(x,y,z)$ überprüft, bekomme ich raus, dass $x^2+y^2=(R+r)^2$ oder $x^2+y^2=(R-r)^2$, aber ist ja möglich z.B. wenn $R=2$, $r=1$ dann ist ja $x^2+y^2=3^2$ und das hat ja Lösungen für $x$ und $y$ Ist nun also mein ganzer Ansatz falsch oder hab ich einfach nur dumm gerechnet? \quoteoff\(\endgroup\)


   Profil
Oskar-G
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

@nzimme10 Danke hast, recht sieht direkt cleaner aus 👍


   Profil
Oskar-G
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.04.2022
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-01

Die Frage hat sich geklärt, mein prof hat sich in der Aufgabenstellung verschreiben "Kleine Korrektur in Aufgabe (3a): Tatsächlich sollen Sie zeigen, dass in jedem Toruspunkt die Gleichung nach einer der Variablen auflösbar ist."


   Profil
Oskar-G hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Oskar-G hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Oskar-G wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]