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Kein bestimmter Bereich *(*) Piratenforschung
AnnaKath
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  Themenstart: 2022-06-30

Nach der Entdeckung der Nordlande und vor der Errichtung des heiligen Imperiums herrschte in dieser Region eine ungezügelte Phase von ungehemmter Vertreibung der Ureinwohner, Ausbeutung von Rohstoffen, friedlicher Siedlung und gemeiner Piraterie, vergleichbar vielleicht der Zeit um 1600 der irdischen Karibik. „Die Blutige“ Sorsha war eine der berühmtesten Piratenkapitänninnen jener Zeit und bekannt für ihre makabreren Humor. Als sie und ihre Crew von 8 Piratinnen (die „Pink Pearl“ hatte eine ausschliesslich weibliche Besatzung!) nach erfolgreicher Beutetour in den sicheren Hafen von Tolunga zurückkehrte, sollte die reichhaltige Beute verteilt werden. Sorsha schlug ihrer Besatzung dazu ein Spiel vor: „Nach dem alten Recht der Piraten, wie ich es mir heute morgen ausgedacht habe, steht mir die Hälfte der Beute zu. Aber ich will euch die Möglichkeit geben, einen grösseren Anteil für euch herauszuschlagen, ihr räudiges Pack unfrisierter Halsabschneiderinnen, deren Fingernägel schon seit Wochen nicht mehr gefeilt worden und deren Schuhe noch aus der letzten Saison stammen!“ (Sorsha war berüchtigt, ihre Besatzung immer bis zum äusserten zu treiben. Sie hielt dies für geeignete Motivation) „Schaut her!“ Sorsha hielt 8 Holzmarken in die Höhe. „Auf jeder Marke habe ich jeweils einen eurer Namen notiert.“ Dann hielt sie acht hölzerne Kistchen nach oben. „Und auf jeder dieser flotten Kistchen steht eine Nummer. Und nein, es sind einfach die Zahlen von 1 bis 8, der flotte Blackbeard war nicht bereit seine Handynummer auf dem letzten Kapitänskongress zu teilen.“ Sorsha schaute ihre Frauschaft etwas verärgert an. „Ich werde jeweils eine Marke in ein Kistchen legen und hier auf den Tisch stellen. Dann schicke ich euch nach draussen und rufe euch, eine nach der anderen in den Raum, überwache, dass ihr nichts verändert und keine Hinweise hinterlasst. Jede von euch darf 4 Kistchen öffnen. Sofern ihr alle euren Namen findet, erhaltet ihr die vollständige Beute für euch, sofern auch nur eine einzige ihren Namen nicht findet, erhalte ich drei Viertel der Beute!“ Die Crew war zwar nicht sehr begeistert, aber da die garstige Sorsha nun einmal die Kapitänin war und die ausschliessliche Kontrolle über die einzige Haarbürste an Bord der „Pearl“ eisern verteidigte, willigten die Matrosinnen in das Spiel ein. Frage 1: (a) Die Crew hat sich in der historischen Situation nicht abgesprochen und auch keine Strategie verfolgt. Wie hoch war also ihre Chance, den grösseren Beuteanteil zu erlangen? (b) Hätte die Crew eine bessere Strategie* finden können? Wie hoch wäre dann die Wahrscheinlichkeit für den grösseren Anteil gewesen? In diesem goldenen Zeitalter der Piraterie waren sehr viele Schiffe in den Nordlanden unterwegs. Viele andere Piratenbesatzungen nahmen Kapitänin Sorsha und die Pink Pearl zum Vorbild und wollten dieses Spiel nutzen, ihre Beuteanteile zu vergrössern (was nur wenigen gelang). Unter anderem wurde das Spiel auf der „Rabbit“ (10 Besatzungsmitglieder), dem „Swan“ (Besatzung: 20) und der „Eagle“ (Besatzung: 40) gespielt (zur Klarstellung: natürlich darf jeder Matrose die Hälfte der Kästchen öffnen). Frage 2: Wie verhält es sich nun mit den entsprechenden Chancen? (a) Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit für den höheren Beuteanteil, wenn die Mannschaft unkoordiniert (und rein zufällig) vorgeht? (b) Und wie hoch kann die Mannschaft diese durch Kooperation „schrauben“? Viele Jahre nach der Errichtung des nördlichen Königreiches und dem Ende der Piraterie stiess eine Nachfahrin Sorshas, nennen wir sie Susi, auf deren Aufzeichnungen und auf dieses Spiel. Natürlich waren die Zeiten andere und Susi war es etwas unangenehm, dass ihre Vorfahrin ein unfaires Spiel angeboten hatte. Allerdings, das fand auch Susi, sollte nur die klügste Crew die Möglichkeit haben, einen „fairen“ Beuteanteil zu erhalten (Susi gehörte zu den „jungen Performern“ und hatte ein gelb-pinkes Parteibuch). Deshalb modifizierte sie das Spiel gründlich und formalisierte es gleich ein wenig nebenher (Performer sind Menschen, die niemals Ruhe geben). Eine Besatzung aus $n$ Individuen will eine Beute der Grösse $1$ aufteilen. Marken und Kästen werden wie im historischen Vorbild verwendet. Jedes Besatzungsmitglied darf beim Betreten des Raumes $0\leq m\leq n$ Kisten öffnen.** Frage 3: (a) Welchen Anteil der Beute sollte die Crew (abhängig von n und m) jeweils erhalten, damit das Verfahren fair ist, d.h. der Erwartungswert der erhaltenen Beute soll $\frac12$, dem „historischen Anteil“, entsprechen? (b) Wie ist dieser Anteil speziell für $m=\frac{n}2$ und $n\rightarrow \infty$? Klarstellungen: *) Es ist hierbei nicht zulässig, sich überhaupt nicht auf das Spiel einzulassen. Eine harte Kapitänen lässt Spassbremsen selbstverständlich kielholen. Die Matrosinnen können sich also absprechen und eine gemeinsame Strategie entwickeln; sie dürfen sich aber nicht dem Spiel entziehen. **) Für $m=0$ und $m=n$ existieren offensichtlich keine Lösungen. Insofern sollte man die Frage so verstehen, dass sie sich (nach Ausschluss der trivialen Fälle) im Grunde auf die Situation bezieht, in der $0Den zweiten Stern gibt es natürlich nur für Frage 3. Allerdings mag es sein, dass auch die optimale Strategie der Mannschaft bereits diesen Stern verdient... Viel Spass beim Rätseln; lg, AK


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Nachtrag: Gerade habe ich dieses Rätsel abgeschickt, da erhalte ich von einer nur mässig motivierten Testlöserin noch zwei interessante Modifikationen, die ich gerne weitergebe: Angenommen, die Kapitänen Sorsha verteilt die Marken nicht zufällig auf die Kisten. Frage 4: (a1) Kann sie, die optimale Strategie der Crew kennend, verhindern, dass die Crew eine realistische Chance (die Wahrscheinlichkeit also etwa auf die der reinen Zufallsstrategie drückend) auf Erfolg hat? (a2) Sofern die Crew weiss, dass Sorsha das Spiel finster arrangiert, kann sie dann eine Gegenstrategie entwickeln? (b1) Sofern die Kapitänin nett sein will - kann sie dann die Verteilung der Marken so modifizieren, dass die Strategie der Crew sicher zum Erfolg führt? (b2) Wenn sie dies unauffällig tun will, versucht sie dazu möglichst wenige Marken in der rein zufälligen Verteilung zu vertauschen. Wie viele Marken muss sie maximal vertauschen? lg, AK


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tactac
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Zum Warmwerden mal ein paar Antworten: \showon 1) a) Die WK, dass die Crew gewinnt, ist $1/256 = 3.90625\cdot 10^{-3}$ b) Besser geht's auf jeden Fall. Mit der Strategie * Piratin 1 öffnet Kästchen 1 bis 4, * Piratin 2 öffnet Kästchen 2 bis 5, ... * Piratin 7 öffnet Kästchen 7,8,1,2, * Piratin 8 öffnet Kästchen 8,1,2,3. etwa geht die WK auf $11 / 1680 = 264/8! \approx 6.5476\cdot 10^{-3}$ hoch, wird also ungefähr veranderthalbfacht. Ich bin mir noch nicht klar darüber, ob dies offensichtlich eine optimale Strategie ist, oder offensichtlich bessere existieren müssen. ^^ 2) a) Die WK, dass die Crew mit n Mitgliedern gewinnt, ist $1/2^n$. \showoff \(\endgroup\)


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Kitaktus
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-03

Als ich Aufgaben dieses Typs zum ersten Mal gesehen habe, habe ich mich sehr schwer damit getan. Man muss sich davon lösen, vermeintlich offensichtliches unhinterfragt zu lassen Ein paar Anregungen: \hideon (1) Wenn Sorsha die Marken zufällig verteilt, dann hat jede Piratin -- unabhängig von der gewählten Strategie -- die Wahrscheinlichkeit 1/2 (oder allgemeiner m/n) ihre Marke zu finden. (2) Agieren die Piratinnen unabhängig(!) voneinander, so erhält man die Werte aus tactacs Beitrag. (3) Aus (1) folgt, dass im Mittel die Hälfte der Piratinnen (allgemein: (n-m)/n) falsch tippen. Um die Wahrscheinlichkeit zu steigern, mit der _alle_ richtig tippen, muss man dafür sorgen, dass im Mittel in den Fällen, in denen eine Piratin falsch tippt, möglichst viele Piratinnen falsch tippen. (4) Die Fälle m=1, n beliebig und m=n=2 kann man im Kopf lösen. m=2, n=3 ist auch noch überschaubar. Diese Fälle geben schon einen Fingerzeig, wie eine gute Strategie aussehen könnte. \hideoff


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AnnaKath
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Mich habe eine Reihe von Rückfragen und Ideen erreicht. Dabei stelle ich fest, dass eine Reihe der geschätzten Mitplanetarier über die Strategie der Crew grübelt. Tatsächlich habe ich das wohl etwas falsch eingeschätzt und so möchte ich eine Anmerkung machen, die zumindest erlauben sollte, Ideen zur Strategie der Crew einzuschätzen und sich nicht im Versuch zu verlieren, Details einer Strategie zu optimieren, die weit von der besten Lösung entfernt ist. \hideon Es gibt eine nur von $\frac{m}{n}$ abhängige untere Schranke für die Erfolgswahrscheinlichkeit der meines Wissens nach optimalen (leider habe ich keinen strengen Beweis gesehen oder selbst gefunden...) Strategie. Den konkreten Wert möchte ich nicht angeben, da er vielleicht zu viele Hinweise auf die Lösung gibt (und Frage 3b auch nahezu beantwortet). Es ist so, dass für $m=n/2$ für jede Besatzungsgrösse eine Strategie der Crew existiert, die eine Erfolgswahrscheinlichkeit von über 30% garantiert. \hideoff


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tactac
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Bin über eine viel bessere Strategie als in #2 angegeben gestolpert. 😮 \showon Piratin k öffnet zuerst Kistchen k und danach immer das Kistchen mit der zuletzt vorgefundenen Nummer. Die Gewinn-WK sind dann: Pearl: $307 / 840 \approx 0.365476$ Rabbit: $893 / 2520 \approx 0.354365$ Swan: $77107553 / 232792560 \approx 0.331229$ Eagle: $1705445652408007 / 5342931457063200 \approx 0.319197$ \showoff \(\endgroup\)


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AnnaKath
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-24 12:37

Für alle interessiert sind hier ein paar Lösungen/Ideen notiert (sofern ich sie selber kenne...) \hideon 1a wurde bereit beantwortet. Zu 1b ist mir keine bessere Strategie als die von tactac schliesslich erwähnte bekannt. Diese ist auch sehr gut (s.u.), aber meines Wissens nach nicht als beste bewiesen. Die Fragen unter 2 sind natürlich einfach und bedürfen keiner Auflösung. Mit der Antwort auf Frage 3b sollte dieser Frauenbereich abgedeckt sein. Der "faire" Anteil beträgt $\frac{1}{2 \log 2}$. Zu Frage 4 liste ich schlicht die Antworten auf, deren Begründung sollte dann offensichtlich sein: 4a1) Ja. Natürlich kann die Kapitänen einen Zyklus erzeugen, die länger als $m


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