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Universität/Hochschule Punktpackungen
Mathetron
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  Themenstart: 2022-07-03

Punkte innerhalb der Schnittmenge von zwei Kreisen/Scheiben Die Aufgabe ist recht simpel erklärt, gegeben sind zwei Scheiben/Kreise k, l mit Mittelpunkten A, B und beide mit Radius 1. Außerdem gilt √(3/2) < |AB| < √2. Man beweise nun dass es zu je drei Punkten C, D, E innerhalb der Schnittmenge von k und l immer einen Kreis mit Radius 1/√2 gibt sodass C, D und E darin enthalten sind. Wichtig ist dabei, dass der paarweise Abstand von C, D und E √2 nicht überschreitet d. h. es gilt |CD|, |CE|, |ED| < √2. Noch wichtiges zur Definition, die Schnittmenge von k und l ist definiert als die Menge aller Punkt P für die gilt |BP| ≤ 1 und gleichzeitig |AP| ≤ 1. "Darin enthalten" bedeutet in meinem Fall, dass die Punkte innerhalb oder auf dem gewünschten Kreis liegen. Einen (rein) geometrischen Ansatz hatte ich schon probiert, doch schnell wurden es zu viele unbekannte Winkel und/oder Seitenlängen. Ich hatte mir etwas von einem analytisch-geometrischen Ansatz erhofft, aber hierfür fehlten mir, die nötigen Ungleichungen. Benutzen konnte ich nämlich nur die Dreiecksungleichung ,die bei dem Problem wenig Aussagekraft hatte, sowie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit noch weniger Aussagekraft. Vielleicht kann jemand mit mehr Erfahrung in analytischer Geometrie oder kombinatorischer Geometrie weiterhelfen.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-03

Hallo Mathetron, willkommen auf dem Matheplaneten! Als Kandidat für den gesuchten Kreis kommt doch ein Kreis mit Mittelpunkt M infrage, wobei M die Mitte von A und B ist. Versuch doch mal, den Abstand der beiden Schnittpunkte der Kreisränder zu bestimmen. Ich verschiebe mal ins Forum Geometrie. Mit Kombinatorik kommst du hier wohl nicht weiter. [Verschoben aus Forum 'Kombinatorik & Graphentheorie' in Forum 'Geometrie' von StrgAltEntf]


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Hm, so arg schwierig ist das mit einer rein geometrischen Lösung doch eigentlich nicht. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich leicht der Radius des kleinsten Kreises berechnen, in dem die Schnittmenge gerade noch enthalten ist. Wenn du dann noch die Bedingung \(\sqrt{\frac{3}{2}}\le \left|AB\right|\) beachtest, läuft es darauf hinaus, eine recht einfache Ungleichung nachzurechnen. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Mathetron
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber Diophant, ich verstehe nicht ganz was Sie meinen. Bei meiner Aufgabe ging es um die Punkte C, D und E. Für mich scheint es eher, dass sich ihre Antwort auf die Punkte A und B bezieht und dass es einen Kreis mit Radius 1/√2 gibt, der diese beiden Punkte enthält. Bei mir geht es jedoch um einen solchen Kreis, der die Punkte C, D und E enthält. Lieber StrgAltEntf, ich hatte Ihren Ansatz schon ausprobiert, der Abstand der beiden Kreisschnittpunkt ist jedoch wegen |AB| > √(3/2) immer größer als √2 und damit kommt dieser Mittelpunkt nicht in Frage.


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @Mathetron: \quoteon(2022-07-03 14:26 - Mathetron in Beitrag No. 3) Lieber Diophant, ich verstehe nicht ganz was Sie meinen. Bei meiner Aufgabe ging es um die Punkte C, D und E. Für mich scheint es eher, dass sich ihre Antwort auf die Punkte A und B bezieht und dass es einen Kreis mit Radius 1/√2 gibt, der diese beiden Punkte enthält. Bei mir geht es jedoch um einen solchen Kreis, der die Punkte C, D und E enthält. \quoteoff Nein, ich hatte es schon richtig verstanden. Da beide Kreise aber den gleichen Radius haben, lässt sich der Radius des kleinsten Kreises, der die Punkte C,D und E enthält, sehr leicht in Abhängigkeit der Strecke \(\left|AB\right|\) darstellen. Und dann braucht es wie gesagt noch die erwähnte Abschätzung sowie das Nachrechnen einer Ungleichung. Das ist übrigens offensichtlich exakt die gleiche Idee wie die meines geschätzten Kollegen StrgAltEntf, nur anders formuliert. PS: wir duzen uns hier eigentlich generell. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-03

\quoteon(2022-07-03 13:14 - Mathetron im Themenstart) Außerdem gilt √(3/2) < |AB| < √2. \quoteoff Hm, bist du sicher, dass da nicht $\frac{\sqrt3}2<|AB|<\sqrt2$ steht?


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Mathetron
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber Diophant, lieber StrgALtEnf, ich möchte hier ein explizites Beispiel angeben wo die Idee von StrgALtEnf nicht funktioniert insofern ich sie richtig verstanden habe. Es sei A = (0, 0), B = (1.23, 0) sowie C=(0.62, 0.75), D=(0.48, 0.27) und zum Schluss E=(0.8, 0.2). Mit M als Mittelpunkt von AB gilt leider |CM|>1/√2. Das bedeutet, dass der vorgeschlagene Kreis nicht für jede beliebige Wahl von 3 Punkten C, D, E, unter Berücksichtigung der Bedingungen, alle drei Punkte enthält. Falls ihr euch wundert, die Werte kommen aus selbstständigem Experimentieren in GeoGebra.


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-03

Hallo Mathetron, du hast recht: ich hatte mich beim Nachrechnen meiner Ungleichung an einer Stelle vertan (sorry). Ich schließe mich der Frage von StrgAltEntf an: mit der unteren Schranke für die Strecke |AB| kann IMO etwas nicht stimmen, sonst würde die Behauptung nicht stimmen. Gruß, Diophant


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Mathetron
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber Diophant, ich bin mir sicher dass da √(3/2) steht und nicht √3/2, aber selbst wenn nicht wenn die Aussage für √3/2 < |AB| < √2 dann stimmt sie automatisch auch für √(3/2) < |AB| < √2, da √3/2 < √(3/2). Außerdem was bedeutet IMO?


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-03 16:33 - Mathetron in Beitrag No. 8) Lieber Diophant, ich bin mir sicher dass da √(3/2) steht und nicht √3/2, aber selbst wenn nicht wenn die Aussage für √3/2 < |AB| < √2 dann stimmt sie automatisch auch für √(3/2) < |AB| < √2, da √3/2 < √(3/2). \quoteoff Das ist ein Denkfehler. Denn je kleiner der Abstand |AB|, desto größer wird natürlich der kleinste Kreis, der die Schnittmenge gerade noch enthält. Mit \(\left|AB\right|=\sqrt{3/2}\) hat dieser kleinste Kreis eine Radius von \(r=\sqrt{5/8}>1/\sqrt{2}\). Also kann an dieser unteren Schranke etwas nicht stimmen. Diese untere Schranke muss also größer sein (und die obere damit auch). \quoteon(2022-07-03 16:33 - Mathetron in Beitrag No. 8) Außerdem was bedeutet IMO? \quoteoff In diesem Fall "In my opinion". Wo stammt den die Aufgabe her bzw. gibt es dazu einen Originalwortlaut? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-03

\quoteon(2022-07-03 15:58 - Mathetron in Beitrag No. 6) A = (0, 0), B = (1.23, 0) sowie C=(0.62, 0.75), D=(0.48, 0.27) \quoteoff Nimm mal stattdessen D = (0.62, -0.75). C und D haben den Abstand 1.5. Wie sollen denn C und D in einen Kreis mit Radius $\sqrt2/2$ passen?


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Mathetron
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber StrgALtEnf, die Bedingung lautet, dass |CD| < √2. Da aber 1,5 > √2 ist, ist der Punkt D den du vorschlägst gar nicht erlaubt, also passt alles noch. Lieber Diophant, nein tatsächlich stimmt die untere Schranke. Das liegt daran, dass der Kreis nicht notwendigerweise M als Mittelpunkt haben muss, jeder beliebige Mittelpunkt geht auch. Sie können das ruhig mit den gegebenen Werten in GeoGebra ausprobieren, nur nach wenig rumprobieren findet man einen Kreis mit Radius 1/√2, der C, D und E beinhaltet. Der genaue Wortlaut ist der Folgende: Gegeben seien Punkte A, B, C, D und E in der Ebene man beweise, dass aus √(3/2) < |AB| < √2 sowie |AC|,|BC| ≤ 1, |AD|,|BD| ≤ 1, |AE|,|BE| ≤ 1 als auch |CD|,|CE|,|ED| < √2 folgt, dass es einen Kreis K gibt, sodass C, D und E innerhalb oder auf K liegen.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-07-03

\quoteon(2022-07-03 18:48 - Mathetron in Beitrag No. 11) Der genaue Wortlaut ist der Folgende: Gegeben seien Punkte A, B, C, D und E in der Ebene man beweise, dass aus √(3/2) < |AB| < √2 sowie |AC|,|BC| ≤ 1, |AD|,|BD| ≤ 1, |AE|,|BE| ≤ 1 als auch |CD|,|CE|,|ED| < √2 folgt, dass es einen Kreis K gibt, sodass C, D und E innerhalb oder auf K liegen. \quoteoff Das ist ja erst mal eine andere Aufgabe! Für K gibt es also keine weiteren Bedingungen? So einen Kreis gibt es doch aber IMMER, ganz egal, wo C, D und E liegen. Er muss nur groß genug sein.


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Mathetron
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber StrgALtEnf, das war mein Fehler, der Radius des Kreises soll 1/√2 betragen. Damit ist die Aufgabe die selbe sowie ich sie am Anfang formuliert hatte. Der einzige Unterschied ist, dass sie jetzt kürzer formuliert ist.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-07-03

\quoteon(2022-07-03 19:17 - Mathetron in Beitrag No. 13) das war mein Fehler, der Radius des Kreises soll 1/√2 betragen. Damit ist die Aufgabe die selbe sowie ich sie am Anfang formuliert hatte. Der einzige Unterschied ist, dass sie jetzt kürzer formuliert ist. \quoteoff Alles klar, dass |CD|, |CE|, |ED| < √2 Bestandteil der Voraussetzungen ist, hatte ich übersehen. Das war mein Fehler.


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Mathetron
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber StrgAltEnf, jetzt wo die Faktenlage klar ist, gibt es möglicherweise eine Antwort oder wenigstens ein Ansatz, der dir spontan einfallen würde?


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Diophant
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-07-03

Hallo Mathetron, \quoteon(2022-07-03 20:46 - Mathetron in Beitrag No. 15) Lieber StrgAltEnf, jetzt wo die Faktenlage klar ist, gibt es möglicherweise eine Antwort oder wenigstens ein Ansatz, der dir spontan einfallen würde? \quoteoff bevor wir hier weitermachen, würden wir gerne wissen, wie genau du auf dieses Problem gestoßen bist. Ist das in #11 insbesondere wirklich der Originalwortlaut der Aufgabenstellung? Und in welchem Kontext hast du diese Aufgabe gestellt bekommen bzw. gefunden? Es hat nicht zufällig etwas mit unterschiedlich gefärbten Punkten zu tun? Gruß, Diophant


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Mathetron
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-03

Lieber Diophant, um ehrlich zu sein, ist diese Aufgabe meines eigenen Geistes entsprungen. Dementsprechend könnte die Aussage auch falsch sein, was ich aber wegen der praktischen Evidenz bezweifle (aber das hat in der Mathematik nichts zu bedeuten). Auf die Frage bin ich im Zusammenhang mit dem Satz von Jung und Hellys Theorem gestoßen. Motivation hierfür war, beide Theoreme auf beschränkten Mengen zu betrachten, weil es dafür tatsächlich wenig Literatur gibt. Nachdem sich das Problem als relativ leicht für die Schnittmenge von zwei Rechtecken/Quadraten enttarnt hat, habe ich es mit der nächst einfachen geometrischen Figur, dem Kreis probiert, und um es möglich simpel zu halten mit dem Einheitskreis. Die Zahl √2 kommt von der simplen Observation, dass ein Quadrat der Seitenlänge 1 mit einem Kreis des Radius √2 bedeckt werden kann, daher habe ich erwartet, dass man das Problem mit dieser Zahl möglich einfach halten kann (ich hatte mich geirrt). Sie hatten einen Problem mit unterschiedlich gefärbten Punkten erwähnt, könnte ich darin möglicherweise die Lösung zu meinem Problem finden?


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Diophant
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-07-04

\quoteon(2022-07-03 21:07 - Mathetron in Beitrag No. 17) Lieber Diophant, um ehrlich zu sein, ist diese Aufgabe meines eigenen Geistes entsprungen. Dementsprechend könnte die Aussage auch falsch sein, was ich aber wegen der praktischen Evidenz bezweifle (aber das hat in der Mathematik nichts zu bedeuten). Auf die Frage bin ich im Zusammenhang mit dem Satz von Jung und Hellys Theorem gestoßen. Motivation hierfür war, beide Theoreme auf beschränkten Mengen zu betrachten, weil es dafür tatsächlich wenig Literatur gibt. Nachdem sich das Problem als relativ leicht für die Schnittmenge von zwei Rechtecken/Quadraten enttarnt hat, habe ich es mit der nächst einfachen geometrischen Figur, dem Kreis probiert, und um es möglich simpel zu halten mit dem Einheitskreis. Die Zahl √2 kommt von der simplen Observation, dass ein Quadrat der Seitenlänge 1 mit einem Kreis des Radius √2 bedeckt werden kann, daher habe ich erwartet, dass man das Problem mit dieser Zahl möglich einfach halten kann (ich hatte mich geirrt). \quoteoff Das überzeugt mich nicht, um ehrlich zu sein. \quoteon(2022-07-03 21:07 - Mathetron in Beitrag No. 17) Sie hatten einen Problem mit unterschiedlich gefärbten Punkten erwähnt, könnte ich darin möglicherweise die Lösung zu meinem Problem finden? \quoteoff Das könnten wir ja dann ab dem 2. September diesen Jahres gerne tun... Bitte hier nicht weiter antworten: es handelt sich mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit um eine Frage zu einer Aufgabe eines laufenden Wettbewerbs. Gruß, Diophant


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Mathetron hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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