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Ingenieurwesen » Technische Mechanik » Biegelinie Balken veränderlicher Querschnitt (asymmetrisch)
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Beruf Biegelinie Balken veränderlicher Querschnitt (asymmetrisch)
tomst
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  Themenstart: 2022-07-07

Hallo Zusammen! Vielleicht könnt ihr mir helfen. Leider ist meine Mechanikvorlesung doch schon etwas her. ;-) Ich versuche die Biegelinie eine Balkens zu berechnen. Dieser hat einen rechteckigen Querschnitt und eine variable Höhe vergleichbar mit einem rechtwinkligen Trapez. An der dicken Seite des Trapez ist der Balken eingespannt. Auf das dünne Ende wirkt eine Kraft. Die variable Höhe konnte ich berechnen: h(x)=tan(\alpha)*x+h(x0) Sollte man den Tangens ersetzen dürfen bekomme ich analog: h(x)=a/l*x+h(x0) Diese Terme würde ich nun in die Formel für das Flächenträgheitsmoment eines rechteckigen Querschnitts einsetzen: I(x)=1/12*b*[tan(\alpha)*x+h(x0)]^3 Für die Berechnung der Biegelinie würde ich dieses in die DGL der Biegelinie einsetzen und integrieren. Hier im Forum gibt es schon ein ähnliches (älteres) Problem (hier), auch in Gross-TM II Formeln & Aufgaben ist ein Beispiel mit variabler Breite enthalten. Beide genannten Beispiele sind jedoch symmetrisch bzw. sehen symmetrisch aus. Nun frage ich mich aber, ob meine Berechnung so zulässig ist. Bei den obigen Beispielen sollte der Schwerpunkt bzw. dessen Koordinatensystem ja konstant sein. Die Schwerpunkte der infinitesimalen Abschnitte meines Balkens sind es aber nicht bzw. die Schwerachse des Balkens liegt wahrscheinlich nicht mittig in der dünnen Stelle. Hier bin ich etwas ratlos. Könnt ihr mir eventuell weiterhelfen? Danke schon mal! https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55727_Matheplanet.jpg


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

Hallo tomst, im Grunde kannst Du es genauso machen wie dort. Die DGL Deiner Biegelinie lautet $$w''(x)=-\frac{M_b(x)}{\frac16Ebh^3(x)}$$(Das Minus ist Definitionssache - bitte für Deinen Anwendungsfall prüfen). In dieser DGL kommt nur die zweite Ableitung vor, Du musst bekanntermaßen zweimal integrieren, um auf die Biegelinie zu kommen, und dabei werden zwei Integrationskonstanten hinzugefügt. Und erst da entsteht der Unterschied. Die neutrale Faser des Balkens läuft durch die Mitte des Balkens. Das führt jedoch nur dazu, dass man beim Einsetzen entsprechender Randwerte aufpassen muss. Während man bei einem horizontalen Balken normalerweise an der Einspannstelle $w'=0$ setzt, musst Du hier halt $w'=-\frac a{2l}$ einsetzen, weil das die Neigung ist, unter der die Balkenachse im unbelasteten Zustand verläuft. Ciao, Thomas


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tomst
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Hallo Thomas, sorry für die späte Antwort. Danke dir für die Tipps! Nur noch eine Frage: Dass ich für die Neigung a/2l einsetzte habe ich verstanden. Setze ich für die Biegelinie an dieser Stelle dann Null ein? Oder den Abstand von der Balkenachse zum unteren Ende des Balkens. Also sowas wie h/2? Danke schon mal! Viele Grüße Thomas


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-18

Hallo tomst, üblicherweise wird die Biegelinien-Null ja auf die Höhe der neutralen Faser gelegt, die dann aber meistens horizontal verläuft. Hier tut sie es halt nicht. Ich würde die Null immer dahin legen, wo sich nichts bewegt - im Beispielbild oben also an den linken Rand auf Höhe der dortigen Balkenmitte, denn die Durchbiegung an dieser Stelle ist und bleibt null. Am rechten Ende dagegen steigt die Durchbiegung von $\frac12a$ im unbelasteten Zustand auf was auch immer im belasteten. Während Du bei einem horizontalen Balken mit konstantem Querschnitt dann die beiden Randbedingungen $w(0)=0$ und $w'(0)=0$ hast, hättest Du hier dann $w(0)=0$ und $w'(0)=\frac a{2l}$ (letzteres ggf. mit einem Minus davor, je nachdem, ob bei Dir $w$ nach oben oder unten zeigt). Ciao, Thomas


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tomst
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-22

Hallo Thomas, vielen Dank! Das hat mir schon sehr weitergeholfen!😃 Leider stehe ich im Moment vor einem zweiten Problem. Für eine Art Festkörpergelenk (siehe Bild) würde ich gerne ähnliches ausrechnen. Dabei reicht aber eine Annäherung. Deswegen hätte ich den Balken, ähnlich wie bei einer Kraftapplikation die nicht am Ende des Balkens stattfindet, in zwei Teile geteilt. Bis zur engsten Stelle der Einschnürung hätte ich die Biegelinie und Auslenkung (Neigung) berechnet. Die Auslenkung des restlichen Balkens lässt sich dann über trigonometrische Zusammenhänge berechnen. Aus der Literatur habe ich herausgelesen, dass die Einschnürung mit einer variablen Höhe (Kreis / Ellipse / Parabel / etc.) beschrieben werden kann. Die weiteren Lösungen scheinen dann aber kaum mehr rein analytisch effizient lösbar. Sehe ich das richtig? Viele Grüße Thomas https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55727_Matheplanet_2.jpg


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-26

Hallo tomst, asymmetrisch oder nicht, dem würde ich tatsächlich keine Beachtung schenken. Wenn Deine Frage oben von Anfang an darauf abzielte, eigentlich diese Frage zu beantworten, hätten wir uns Zeit sparen können. Natürlich macht es einen Unterschied, sozusagen makroskopisch, ob diese Einkerbung asymmetrisch oder jeweils mit halber Tiefe symmetrisch ist. Die Balkenbiegung ist jedoch so stark idealisiert, dass es hier fast keine Rolle spielt. Tu einfach so, als sei es symmetrisch, und berechne den Balken einfach mit einer variablen Querschnittshöhe $h(x)$. Das wird schwierig genug, wie Du schon zurecht vermutest. Wenn man es genauer berechnen will, gibt es zwei Möglichkeiten: 1. FEM-Berechnung mit entsprechender Software 2. Aufstellen einer Airyschen Spannungsfunktion, die eine komplizierte Differentialgleichung in $x$ und $z$ darstellt (evtl. auch noch $y$, wenn Du Behinderung von Querkontraktion mit einbeziehen willst), und die dementsprechend noch komplizierter zu lösen sein wird als die schon komplizierte Balkenbiegungs-DGL, die im Grenzübergang in der Airyschen Spannungsfunktion drinsteckt. Wenn es denn überhaupt geht. WENN es geht, dann hast Du allerdings eine vollständige analytische Beschreibung des Spannungszustands an jedem Punkt im ganzen Balken, also Spannungen und Verformungen, was Du mit FEM nie bekommst. Aber sie ist wie gesagt nur sehr selten analytisch zu lösen. Ciao, Thomas


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tomst
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-11

Hallo Thomas, vielen Dank für die Infos und die Hilfe. Beide "Biegebalken" sollten verglichen werden, das Trapez ist also kein Teil der Einschnürung. Wie du vorgeschlagen hast, habe ich den Balken mit einer variablen Höhe angenähert und zusätzlich eine FE Simulation dazu laufen lassen. Vielen Dank dir nochmal für die umfangreiche Hilfe! Viele Grüße Thomas


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
MontyPythagoras
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-11

Hallo tomst, gern geschehen. Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass die klassische Balkenbiegungsberechnung auf stark idealisierten Annahmen und Linearisierungen beruht, unter anderem darauf, dass sämtliche Balkendimensionen quer zur Längsachse, also Höhe und Breite, vernachlässigbar sind im Verhältnis zur Länge des Balkens. Wenn der Balken sehr stark schräg verlaufen würde, also zum Beispiel unter 30° gegen die Horizontale, dann müsste man das besonders berücksichtigen. Die Linearisierung beruht darauf, dass man die Krümmung $\kappa$, was der Kehrwert des Krümmungsradius ist, durch die zweite Ableitung der Biegelinie annähert: $$\kappa\approx w''$$Die genaue Formel ist aber $$\kappa=\frac{w''}{(1+w'^2)^{\frac32}}$$Obige Näherung stimmt also nur dann gut, wenn $w'\approx0$ gilt, also bei horizontalem Balken. Wäre der Balken stark schrägt geneigt unter einem Winkel $\beta$ gegen die Horizontale, müsste man als Näherung $$w'\approx\tan\beta$$verwenden, was zu $$\kappa\approx w''\cos^3\beta$$führen würde, was man in die von mir in Beitrag 1 angegebene Gleichung einsetzen müsste. Ich bin implizit davon ausgegangen, dass die Neigung nur schwach und daher $\cos\beta\approx1$ ist. Eine etwas verbesserte Variante wäre also wie beschrieben vorzugehen, aber die etwas genauere Approximation $$\frac{w''(x)}{\left(1+\left(\frac a{2l}\right)^2\right)^{\frac32}}=-\frac{M_b(x)}{\frac16Ebh^3(x)}$$ zu verwenden. Ciao, Thomas


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