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 Innerer und äußerer Jordaninhalt - Würfelsummen |
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Boy666
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 09.03.2018
Mitteilungen: 34
 |  Themenstart: 2022-07-08
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Hallo liebe Leute!
Im Buch "Analysis 2" von Wolfgang Walter (5.Auflage) auf Seite 273 findet sich eine kleine Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich sie richtig gelöst habe:
Sei I\el\R^n ein Intervall (I=[a_1, b_1 ]x...x[a_n, b_n ]\subset\R^n) und M\subsetequal\I beschränkt.
Zu zeigen ist abs(M)_a+abs(I\\M)_i=abs(I), wobei abs(*)_i den inneren und abs(*)_a den äußeren Jordaninhalt bezeichnet.
Mein Ansatz lautet nun wie folgt:
Laut Analysis 2 [Walter, s. 225] kann man den äußeren und inneren Jordaninhalt als Limiten von Würfelsummen darstellen, i.e.
abs(M)_a=lim(k->\inf,abs(W^k)) und abs(I\\M)_i=lim(k->\inf,abs(W_k)).
Pro "k" wird der R^n in gleichgroße Würfel der Seitenlänge 2^(-k) fast disjunkt zerteilt. W^k(M) bezeichne die Würfelsumme("Summe"=Vereinigung), die alle Würfel der Seitenlänge 2^(-k) enthält, die mindestens einen Punkt mit M gemeinsam haben, und bezeichne mit W_k(M) die Vereinigung aller Würfel der Seitenlänge 2^(-k), die vollständig in M enthalten sind.
Nach Definition und Satz gilt damit erst einmal
abs(M)_a + abs(I\\M)_i = lim(k->\inf,abs(W^k(M)))+lim(k->\inf,abs(W_k(I\\M)))
(beide Limiten existieren laut Walter =>) = lim(k->\inf, (abs(W^k(M))+abs(W_k(I\\M)))
Nun sind abs(W^k(M)) und abs(W_k(I\\M)) zumindest fast disjunkte Mengen
und somit abs(W^k(M))+abs(W_k(I\\M))=abs(W^k(M)\union\ W_k(I\\M)).
Nun besteht W_k(I) aus allen Würfeln der Seitenlänge 2^(-k), die vollständig in I liegen. Dementsprechend kann man W_k(I) in drei Mengen A,B und C zerteilen.
A sei die Vereinigung aller Würfel, die ganz in M liegen,
B sei die Vereinigung aller Würfel, die ganz in I\\M liegen,
und C sei die Vereinigung aller Würfel, die mit mindestens beiden
Mengen einen Punkt gemeinsam haben. Also W_k(I)=A\union\B\union\C.
Damit ist leicht ersichtlich, dass W_k(I)\subsetequal\ (W^k(M)\union\ W_k(I\\M)). Weiterhin gilt offenbar W^k(M)\union\ W_k(I\\M)\subsetequal W^k(I).
Grenzübergang samit SandwichTheorem für Folgen, Monotonie des Inhalts und I als quadrierbarer Menge ergibt nun den geforderten Zusammenhang. Das lässt mich ob der Korrektheit zweifeln. Warum hätte er sonst nicht direkt die allgemeinere Quadrierbarkeit als Voraussetzung genommen. Oder gibt es einen banalen Beweis, bei der man ein Intervall als Grundmenge "ausspielen" kann.
Bitte um Einschätzung :)
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Boy666
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09
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Noch zur Inklusion bei der Stelle mit A,B und C:
Ein Punkt x ist hier genau dann in zwei Mengen enthalten, wenn der x enthaltende Würfel in beiden Mengen enthalten ist (da alle Seiten ausschließlich Würfelsummen über denselben "Basis"-Würfeln sind).
Damit gilt:
Wenn x\el\ A => x\el\ W_k(M)\subsetequal W^k(M).
Wenn x\el\ B => x\el\ W_k(I\\M) nach Definition.
Wenn x\el\ C => x\el\ W^k(M) nach Definition, denn wenn C die Würfel enthält, die mit sowohl M als auch I\\M einen Punkt gemeinsam haben, enthält sicher auch W^k(M) den Würfel, für den ja schon ein nicht leerer Schnitt mit M ausreicht.
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Boy666
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-15
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