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  Jeder periodische Dezimalbruch stellt eine rationale Zahl dar |
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Farbspiel
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 |  Themenstart: 2022-07-08
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Behauptung: Jeder periodische Dezimalbruch stellt eine rationale Zahl dar
Beweis:
Sei $a_i\in\{1,2,...,9\}$, dann lässt sich ein periodischer Dezimalbruch $a= a_0,a_1...a_r\overline{a_{r+1}...a_{r+s}}$ wie folgt darstellen und mit Hilfe der geometrischen Reihe berechnen:
$
\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+1}}\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1} {10^{s}})^k
=\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^s}}$
Somit konnte eine rationalen Zahl zu $a$ ermittelt werden bzw. wurde gezigt, dass die Reihendarstellung von $a$ gegen eine rationale Zahl konvergiert.
---
Ich dachte, das wäre der Beweis, aber dann habe ich meine Begründung nochmal hinterfragt und ein willkürliches Beispiel berechnet:
Ich begreife nicht ganz, wieso eine unendliche Zahlenfolge ( wenn auch periodisch) äquivalent zu einer endlichen rationale Zahl ist.
Das Beispiel $0,\overline{9}=1$ ergibt noch Sinn für mich, aber z.B.:
$a=1,35\overline{182}\rightarrow r=2, s=3 $
$ \rightarrow
a = \sum\limits_{k=0}^{2}a_k 10^{-k}+\frac{a_{2+1}...a_{2+3}}{10^{2+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^3}}
=1,35+\frac{182}{10^3}\cdot \frac{1000}{999}
=1,35+\frac{182}{10^3}\cdot 1,\overline{001}$
Hier erhalte ich wieder eine periodische Zahlenfolge, welche im Prinzip äquivalent zur ursprünglichen Darstellung von $a$ ist.
Irgendwie bin ich verwirrt, mir fällt sogar die Formulierung der Frage schwer. Kann mir jemand weiterhelfen?
Änderung: Mir ist gerade ein Fehler aufgefallen, in meinem Beispiel ist der periodische Anteil um zwei Dezimalstellen zu groß, überlege mir, wo der Fehler in meiner Formel liegt. Wollte nur schnell Bescheid sagen, dass ich es gesehen habe.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
du bist da einfach etwas über das Ziel hinausgeschossen, da \(1.35+\frac{182}{1000}\cdot\frac{1000}{999}=\frac{27}{20}+\frac{182}{999}\) offensichtlich eine rationale Zahl ist.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Rationale und reelle Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Farbspiel
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
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\quoteon(2022-07-08 22:35 - Diophant in Beitrag No. 1)
du bist da einfach etwas über das Ziel hinausgeschossen, da \(1.35+\frac{182}{1000}\cdot\frac{1000}{999}=\frac{27}{20}+\frac{182}{999}\) offensichtlich eine rationale Zahl ist.
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Rationale und reelle Zahlen' von Diophant]
\quoteoff
Stimmt , danke für die Antwort :)
Aber \(1.35+\frac{182}{1000}\cdot\frac{1000}{999}=\frac{27}{20}+\frac{182}{999} = 1,53\overline{182}\) laut Taschenrechner, da muss doch irgendein Fehler in der Formel sein? Ich finde ihn aber nicht:
$a=
\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+1}}\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1} {10^{s}})^k
=\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^s}}$
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cramilu
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-08
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Der Fehler liegt im Ablesen der Taschenrechneranzeige!
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
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\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
du berücksichtigst bei deiner Formel zwar die die Tatsache, dass der Beginn der periodischen Drastellung i.a. nicht an der ersten Nachkommastelle liegt. Der Exponent im Nenner deines Vorfaktors \(\frac{a_{r+1}\dotsc a_{r+s}}{10^{r+1}}\) berücksichtigt aber die Periodenlänge nicht, sondern nur die Stelle, wo die periodische Darstellung beginnt. Das müssten IMO \(10^{r+s+1}\) sein, dann sollte es passen.
@cramilu:
\quoteon(2022-07-08 23:10 - cramilu in Beitrag No. 3)
Der Fehler liegt im Ablesen der Taschenrechneranzeige!
\quoteoff
Nein das stimmt schon. Die vertauschten Ziffern sind hier teilweise dem Zufall geschuldet, es ist
\[\frac{27}{20}+\frac{182}{999}=1.532\overline{182}\]
Der eigentliche Fehler liegt aber in der Formel.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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Farbspiel
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
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\quoteon(2022-07-08 23:16 - Diophant in Beitrag No. 4)
du berücksichtigst bei deiner Formel zwar die die Tatsache, dass der Beginn der periodischen Drastellung i.a. nicht an der ersten Nachkommastelle liegt. Der Exponent im Nenner deines Vorfaktors \(\frac{a_{r+1}\dotsc a_{r+s}}{10^{r+1}}\) berücksichtigt aber die Periodenlänge nicht, sondern nur die Stelle, wo die periodische Darstellung beginnt. Das müssten IMO \(10^{r+s+1}\) sein, dann sollte es passen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\quoteoff
Sehe den Denkfehler, danke dir :)
Korrektur: Ich würde doch $r+s$ und nicht $r+s+1$ als Exponent wählen, da es ja lediglich darum geht, die Zehnerpotenzen von der Zifferfolge wieder auszugleichen, welche eigentlich Nachkommastellen sind, also:
$a=
\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+s}}\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1} {10^{s}})^k
=\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^s}}$
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-08
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\quoteon(2022-07-08 23:16 - Diophant in Beitrag No. 4)
@cramilu:
\quoteon(2022-07-08 23:10 - cramilu in Beitrag No. 3)
Der Fehler liegt im Ablesen der Taschenrechneranzeige!
\quoteoff
Nein das stimmt schon. Die vertauschten Ziffern sind hier teilweise dem Zufall geschuldet, es ist
\[\frac{27}{20}+\frac{182}{999}=1.53\overline{182}\]\quoteoff
Blödsinn!
\(\frac{27}{20}\;+\;\frac{182}{999}\;=\;1,35\;+\;0,\overline{182}\;=\;1,532\overline{182}\;=\;1,53\overline{218}\)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-07-08 23:41 - Farbspiel in Beitrag No. 5)
Korrektur: Ich würde doch $r+s$ und nicht $r+s+1$ als Exponent wählen, da es ja lediglich darum geht, die Zehnerpotenzen von der Zifferfolge wieder auszugleichen, welche eigentlich Nachkommastellen sind, also:
$a=
\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+s}}\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1} {10^{s}})^k
=\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^s}}$
\quoteoff
Stimmt, da bin ich jetzt auch übers Ziel hinausgeschossen. 🙂
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Farbspiel
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Dabei seit: 12.06.2022
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09
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\quoteon(2022-07-09 00:00 - Diophant in Beitrag No. 7)
Stimmt, da bin ich jetzt auch übers Ziel hinausgeschossen. 🙂
Gruß, Diophant
\quoteoff
Dann sind wir uns jetz wohl einig :)
Das hatte ich verfasst, bevor ich deinen geänderten Beitrag gesehen habe:
$
a=\sum \limits_{k=0}^{r}a_k 10^{-k}+\frac{a_{r+1}...a_{r+s}}{10^{r+s+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^s}}$
$a=1,35\overline{182}\rightarrow r=2, s=3 $
$ \rightarrow
a = \sum\limits_{k=0}^{2}a_k 10^{-k}+\frac{a_{2+1}...a_{2+3}}{10^{2+3+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^3}}
=1,35+\frac{182}{10^6}\cdot \frac{1000}{999}=1,350\overline{182}$
Weswegen ich immer noch von $r+s$ als Exponenten überzeugt bin.
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