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Universität/Hochschule J EPR Paradoxon
Muon
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Hi, es geht um den Aufgabenteil 3a: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-09_um_12.03.52.png Ich bin mir nicht ganz sicher, aber soll es sich bei dem folgen Ausdruck um ein Tensorprodukt handeln? Das Tensorprodukt von 2x2 \otimes\ 2x2 Matrizen wäre ja dann wieder eine 4x4 Matrix. Normalweise kenne ich das Tensorprodukt nur mit diesen Zeichen \otimes\ . Hat der Aufgabensteller einfach ein falsches Zeichen verwendet oder ist dieses so auch zulässig? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-09_um_12.06.04.png (S_1)^x=$\hbar$/2*(0,1;1,0)\otimes\ (1,0;0,1)=$\hbar$/2*(0,0,1,0;0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0) (S_1)^z=$\hbar$/2*(1,0;0,-1)\otimes\ (1,0;0,1)=$\hbar$/2*(1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,-1) Damit müsste die Lösung der 3a wie folgt aussehen sin(\theta)*(S_1)^x+cos(\theta)*(S_1)^z=$\hbar$/2*(cos(\theta),0,sin(\theta),0;0,cos(\theta),0,sin(\theta);sin(\theta),0,-cos(\theta),0;0,sin(\theta),0,-cos(\theta)) (S_2)^z=$\hbar$/2*(1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,-1) Stimmt das so?


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Muon
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Bei dem Aufgabenteil 3b findet die Messung ja in der Richtung e*S_1 statt, mit e=(sin(\theta),0,cos(\theta)) dabei handelt es sich ja um einen 1x3 Vektor, jedoch handelt es sich bei S_1 doch um einen 4x4 Matrix, fehlt dem Vektor damit nicht eine Dimension und müsste eigentlich ein 1x4 Vektor sein? Von den Dimensionen her würde 1x3*4x4 ja nicht passen, e sollte folglich doch e=(sin(\theta),0,0,cos(\theta)) lauten, oder?


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-09

\quoteon(2022-07-09 15:11 - Muon in Beitrag No. 1) e sollte folglich doch e=(sin(\theta),0,0,cos(\theta)) lauten, oder? \quoteoff Nein, $\mathbf S_1$ ist ein Vektor aus den drei Operatoren $S_1^x$, $S_1^y$ und $S_1^z$ und mit $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ ist das Skalarprodukt der Richtung $\mathbf e$ mit diesem Vektor gemeint. Das Ergebnis dieses Skalarprodukts ist dann wieder ein Operator. Dieser Operator ist eine $4\times 4$-Matrix, aber die Dimensionen dieser Matrix und die von $\mathbf e$ haben nichts miteinander zu tun.


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Muon
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Danke zippy für den Hinweis👍, dann habe ich S1 einfach falsch interpretiert. Dann bedeuet es doch, dass S_1 wie folgt aussieht S_1=((S_1)^x;(S_1)^y;(S_1)^z) dann lautet e*S_1=(sin(\theta),0,cos(\theta))*((S_1)^x;(S_1)^y;(S_1)^z)=sin(\theta)*(S_1)^x+0*(S_1)^y+cos(\theta)*(S_1)^z und sin(\theta)*(S_1)^x+cos(\theta)*(S_1)^z habe ich ja schon im Aufgabenteil a) berechnet Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-09

Ja.


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Muon
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Danke für deine Hilfe zippy 👍👍 Jetzt muss ich ja einfach nur den Operator auf die Wellenfunktion anwenden, also: ket(\textuparrow\textdownarrow)=(0;1;0;0) ket(\textdownarrow\textuparrow)=(0;0;1;0) ket(\psi)=1/sqrt(2)*(ket(\textuparrow\textdownarrow)-ket(\textdownarrow\textuparrow))=1/sqrt(2)*(0;1;-1;0) e*S_1*ket(\psi)=$\hbar$/2*(cos(\theta),0,sin(\theta),0;0,cos(\theta),0,sin(\theta);sin(\theta),0,-cos(\theta),0;0,sin(\theta),0,-cos(\theta))*1/sqrt(2)*(0;1;-1;0)=$\hbar$/2*(-sin(\theta)/sqrt(2);cos(\theta)/sqrt(2);cos(\theta)/sqrt(2);sin(\theta)/sqrt(2)) Für den Messwert -$\hbar$/2 würde ich ja dann wie Wellenfunktion ket(\psi^~)=-$\hbar$/2*(sin(\theta)/sqrt(2);-cos(\theta)/sqrt(2);-cos(\theta)/sqrt(2);-sin(\theta)/sqrt(2)) erhalten Stimmt das so?


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Muon
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Müsste man die Aufgabe 3c wie folgt lösen? (S_2)^z*ket(\psi)=$\hbar$/2*(0;1/sqrt(2);1/sqrt(2);0) ket(\psi_z)=(0;1/sqrt(2);1/sqrt(2);0) Um jetzt die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, muss ich doch folgendes Rechnen: P=abs(braket(\psi_z,\psi))^2 P=abs((0,(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)),0)*(0;(1/sqrt(2));(-1/sqrt(2));0))^2=0 Also ich die Wahrscheinlichkeit, dass der Spin in Richtung der z-Achse zeigt 0 % Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-10

Schon das Ergebnis zu b) stimmt nicht. Nach einer Messung des Operators $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ mit dem Ergebnis $+\frac\hbar2$ oder $-\frac\hbar2$ ist der Zustand nicht $\pm\frac\hbar2\,\mathbf e\cdot\mathbf S_1|\psi\rangle$. Der unnormierte Zustand nach der Messung ist vielmehr die Projektion von $|\psi\rangle$ auf den Eigenraum von $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ zu dem jeweiligen Eigenwert. Bei c) kannst du die Plausibilität deines Ergebnisses dadurch kontrollieren, dass Bob mit Sicherheit das Ergebnis $\mp\frac\hbar2$ erhält, wenn Alice bei einer Messung mit $\theta=0$ das Ergebnis $\pm\frac\hbar2$ erhalten hat.


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Muon
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Danke zippy fürs drüber schauen 👍 Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, dann bedeutet es doch, wenn Alice den Messwert $\hbar$/2 erhält, dass der Spin in positive z-Richtung zeigt, also Spin up, wohingegen der Messwert -$\hbar$/2 bedeutet, dass der Spin in negative z-Richtung zeigt, also Spin down. Die Messung hat dann mit dem Winkel \theta=0 stattgefunden, also in Richtung der z-Achse. Die jeweiligen Wellenfunktionen müssten dann doch wie folgt aussehen: $\hbar$/2 => ket(\psi^~)=1/sqrt(2)*ket(\textuparrow\textdownarrow) -$\hbar$/2 => ket(\psi^~)=-1/sqrt(2)*ket(\textdownarrow\textuparrow) Bezüglich der c) Da es sich ja um ein Singulett Zustand handelt und wie du bereits erwähnt hast, wenn Alice herausfindet, dass ihr Elektron sich im Spin Up Zustand befindet, dann muss das Elektron vom Bob sich im Spin down Zustand befinden und umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeiten müssen dann ja wie folgt aussehen: Alice => $\hbar$/2 Bob => 100% im ket(\textdownarrow) und 0% im ket(\textuparrow) Alice => -$\hbar$/2 Bob => 0% im ket(\textdownarrow) und 100% im ket(\textuparrow) Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-10

\quoteon(2022-07-10 18:54 - Muon in Beitrag No. 8) Stimmt das so? \quoteoff Das stimmt für den Spezialfall $\theta=0$. Jetzt musst du noch den allgemeinen Fall rechnen. Du kannst dann das allgemeine Ergebnis auf Plausibilität prüfen, indem du dort $\theta=0$ setzt.


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Muon
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Danke nochmals zippy für deine Hilfe 👍 Bezüglich c) Hoffentlich habe ich jetzt nicht einen Denkfehler :-) In der c) geht es ja dann um den allgemeinen Fall, das heißt Alice nimmt eine Messung an Ihrem System vor und Bob möchte nun wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er einen Spin in der z-Richtung misst, wenn Alice ihre Messung durchgeführt hat. Der Anteil kriege ich ja heraus, in dem ich das Skalarprodukt zwischen dem Zustand von Alice mit dem Zustand von Bob, welche in der Z Richtung stattfindet, bilde. Das Quadrat dieses Skalarprodukts entspricht dann der Wahrscheinlichkeit. Ich gebe jetzt den Zustand von Alice mit ket(\psi_A) und dem vom Bob ket(\psi_B) dann ist die Wahrscheinlichkeit P=abs(braket(\phi_B,\psi_A))^2 Muss ich dann für den allgemeinen Fall folgendes berechnen? P=abs(braket((S_2)^z*\psi,sin(\theta)*(S_1)^x+cos(\theta)*(S_1)^z\psi))^2 Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-10

\quoteon(2022-07-10 20:32 - Muon in Beitrag No. 10) Stimmt das so? \quoteoff Nein: \quoteon(2022-07-10 14:35 - zippy in Beitrag No. 7) Schon das Ergebnis zu b) stimmt nicht. Nach einer Messung des Operators $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ mit dem Ergebnis $+\frac\hbar2$ oder $-\frac\hbar2$ ist der Zustand nicht $\pm\frac\hbar2\,\mathbf e\cdot\mathbf S_1|\psi\rangle$. Der unnormierte Zustand nach der Messung ist vielmehr die Projektion von $|\psi\rangle$ auf den Eigenraum von $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ zu dem jeweiligen Eigenwert. \quoteoff Ein ähnliches Problem hast du auch bei der Messung durch Bob. Wie findet man denn die Wahrscheinlichkeit heraus, mit der bei der Messung eines Operators $A$ ein bestimmter Eigenwert $a$ als Ergebnis auftritt?


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Muon
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-11

Nochmals Danke zippy für deine Hilfe 👍👍 ich glaube, ich habe etwas Probleme, die Aufgabe ganz zu verstehen 😃 Wenn ich den Eigenvektor ket(\phi) mit dem Eigenwert \lambda habe, dann kann ich doch die Wahrscheinlichkeit, wie hoch der Zustand ket(\psi) sich in diesen Zustand befindet, wie folgt berechnen P(\lambda)=abs(braket(\phi,\psi))^2 Zurück zu der Aufgabe Leider habe ich noch etwas Probleme den allgemeinen Fall zu verstehen, deswegen gehe ich jetzt davon aus, dass Alice den Zustand $\hbar$/2 gemessen hat. Wenn Alice diesen Zustand gemessen hat, dann kollabiert ja die Wellenfunktion zu ket(\psi^~)=1/sqrt(2)*ket(\textuparrow\textdownarrow) Wenn jetzt Bob seine Messung durchführt, muss ich die kollabierte Wellenfunktion verwenden oder den ursprünglichen Zustand ket(\psi)? Ich würde jetzt sagen, die kollabierte Wellenfunktion, da ja Alice ihre Messung schon durchgeführt hat. Wenn jetzt Bob seine Messung entlang der z-Achse vornimmt, dann würde doch eine Messung von $\hbar$/2 ket(\psi^~)=1/sqrt(2)*ket(\textdownarrow\textuparrow) entsprechen und -$\hbar$/2 ket(\psi^~)=1/sqrt(2)*ket(\textuparrow\textdownarrow) Die Wahrscheinlichkeiten mit der kollabierten Wellenfunktion würde man doch wie folgt berechnen: P($\hbar$/2)=1/2*abs(braket(\textdownarrow\textuparrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=0 P(-$\hbar$/2)=1/2*abs(braket(\textuparrow\textdownarrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=1/2 Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-11

\quoteon(2022-07-11 15:26 - Muon in Beitrag No. 12) Wenn Alice diesen Zustand gemessen hat, dann kollabiert ja die Wellenfunktion zu ket(\psi^~)=1/sqrt(2)*ket(\textuparrow\textdownarrow) \quoteoff Nur in dem Spezialfall $\theta=0$. \quoteon(2022-07-11 15:26 - Muon in Beitrag No. 12) Die Wahrscheinlichkeiten mit der kollabierten Wellenfunktion würde man doch wie folgt berechnen: P($\hbar$/2)=1/2*abs(braket(\textdownarrow\textuparrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=0 P(-$\hbar$/2)=1/2*abs(braket(\textuparrow\textdownarrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=1/2 \quoteoff Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ergibt nicht 1. Vergiss nicht, dass dein obiges $|\tilde\Psi\rangle$ der unnormierte Zustand nach der Messung von Alice ist.


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Muon
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-11

Danke zippy fürs drüberschauen 👍 Bezüglich des Spezialfalls, über den allgemeinen Fall zerbreche ich mir noch den Kopf 😃 Stimmt, wenn Alice ihre Messung durchgeführt hat, erhält sie ihr Messergebnis von $\hbar$/2, also lautet die Wellefunktion einfach nur ket(\psi^~)=ket(\textuparrow\textdownarrow) Wenn jetzt Bob seine Messung durchführt, muss er mit der kollabierten Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 erhalten, also P($\hbar$/2)=abs(braket(\textdownarrow\textuparrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=0 P(-$\hbar$/2)=abs(braket(\textuparrow\textdownarrow,\textuparrow\textdownarrow))^2=1 Für den Fall, wenn Alice den Spin -$\hbar$/2 misst, lautet die Wellenfunktion ket(\psi^~)=ket(\textdownarrow\textuparrow) Und Bob misst die folgenden Ergebnisse: P(-$\hbar$/2)=abs(braket(\textdownarrow\textuparrow,\textdownarrow\textuparrow))^2=1 P(-$\hbar$/2)=abs(braket(\textuparrow\textdownarrow,\textdownarrow\textuparrow))^2=0 Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-07-11

Die Zahlen stimmen. Du berechnest aber genau genommen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Bob das Ergebnis $\pm\frac\hbar2$ erhält, sondern dafür, dass eine gemeinsame Messung von Alice und Bob das Ergebnis $\mp\frac\hbar2$ für Alice und das Ergebnis $\pm\frac\hbar2$ für Bob ergibt. Das macht im augenblicklichen Fall keinen Unterschied, ist aber etwas anderes. Ich hatte diese Frage nicht ohne Grund gestellt: \quoteon(2022-07-10 20:50 - zippy in Beitrag No. 11) Ein ähnliches Problem hast du auch bei der Messung durch Bob. Wie findet man denn die Wahrscheinlichkeit heraus, mit der bei der Messung eines Operators $A$ ein bestimmter Eigenwert $a$ als Ergebnis auftritt? \quoteoff


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Muon
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-12

Danke zippy für deine Hilfe und deine Geduld, die du mit mir hast👍👍, leider habe ich mich etwas selbst verwirrt und bringe gerade ein paar Sachen durcheinander. Also habe ich die ganze Zeit nur konkrete Werte ausgerechnet und keine Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass man den Messwert \lambda_i erhält, kann man doch wie folgt ausrechnen: P_i= abs(\alpha_i)^2=abs(\psi_i, \psi)^2 Angewendet auf die Aufgabe c) kann man die Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen \psi=1/sqrt(2)*ket(\textuparrow\textdownarrow)-ket(\textdownarrow\textuparrow) \lambda_1=$\hbar$/2 => \psi_1=ket(\textdownarrow\textuparrow) \lambda_2=-$\hbar$/2 => \psi_2=ket(\textuparrow\textdownarrow) P_1=abs(\psi_1 , \psi)^2=1/2 P_2=abs(\psi_2 , \psi)^2=1/2 Das bedeutet also, dass sich das Elektron zu 50% in den Zustand \psi_1=ket(\textdownarrow\textuparrow) befinden kann und 50% in den Zustand \psi_2=ket(\textuparrow\textdownarrow) Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-07-12

\quoteon(2022-07-12 15:36 - Muon in Beitrag No. 16) Stimmt das so? \quoteoff Nein. Oben hatte ich doch geschrieben, dass deine Zahlen stimmen und nur deine Rechnung nicht ganz sauber ist. Wenn deine neuen Zahlen nun tatsächlich das Ergebnis von c) sein sollen, dann sind sie folglich falsch. \quoteon(2022-07-12 15:36 - Muon in Beitrag No. 16) Die Wahrscheinlichkeit, dass man den Messwert \lambda_i erhält, kann man doch wie folgt ausrechnen: P_i= abs(\alpha_i)^2=abs(\psi_i, \psi)^2 \quoteoff Das gilt nur, wenn der Eigenraum zum Eigenwert $\lambda_i$ eindimensional ist und von $|\psi_i\rangle$ aufgespannt wird. Die Eigenräume von $\mathbf e\cdot\mathbf S_1$ sind aber genauso wie die von $S_2^z$ zweidimensional.


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Muon
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-13

Danke nochmal zippy für deine Hilfe 👍 Leider macht mir die Quantenverschränkung doch etwas zu schaffen. Bezüglich der Berechnung von zweidimensionalen Eigenräumen finde ich leider in meinem Skript nichts, aber leider auch nirgendwo etwas im Internet. Hast du zufällig die Definition für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von einem 2D Eigenraum?


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zippy
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-07-13

Wenn $\pi_i$ den Projektor auf den Eigenraum zum Eigenwert $\lambda_i$ bezeichnet, ist die Wahrscheinlichkeit $P_i=\langle\psi|\pi_i|\psi\rangle$ und der unnormierte Zustand nach einer Messung mit dem Ergebnis $\lambda_i$ ist $\pi_i|\psi\rangle$.


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Muon
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-14

Danke zippy für die Definition 👍 Ich habe in dem Skript meines Professors folgendes gefunden: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-14_um_21.04.48.png Handelt es sich dabei um dieselbe Definition wie in deinem Beitrag No.19?


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zippy
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-07-14

Hier geht es wieder nur um den eindimensionalen Spezialfall.


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16

Ah okay, ich war nur etwas von dem Begriff Projektor verwirrt, handelt es sich hier bei um denselben Projektor wie in der Lineare Algebra, also https://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(Lineare_Algebra)


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zippy
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-07-16

Ja, es handelt sich um (orthogonale) Projektoren im Sinne der linearen Algebra. Auf der von dir verlinkten Wikipedia-Seite gibt es ja sogar einen Abschnitt zur Anwendung in der Quantenmechanik.


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Muon
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-19

Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, im Moment bereite ich mich auf die Klausur vor. Ich habe von einem Kommilitonen jetzt die Lösung bekommen, wenn ich es jetzt richtig sehe, dann wurde das Problem wieder auf den 1D Fall zurückgeführt und gelöst, oder? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-19_um_21.09.10.png


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Muon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Muon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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