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| Autor |
 Holomorphe Funktionen bestimmen |
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mathestudent17
Junior 
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2022-07-10
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Bestimmen sie alle holomorphen Funktionen $f:K_2(0)\to \mathbb{C}$ mit
$f(\frac{n+1}{n})=4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}$ für alle $n \in \mathbb{N}$
Hallo,
meine Lösung Strategie ist es nun zuerst die Funktionsvorschrift von $f$ zu finden. Danach muss ja die Eindeutigkeit von $f$ gezeigt werden und dies wollte ich mittels Identitätssatz machen.
also
$f:K_2(0)\to \mathbb{C}$ mit
$f(\frac{n+1}{n})=4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}= \frac{4n^2+4n+1}{n^2}=\frac{4(n^2+n)+1}{n^2}=\frac{4n(n+1)+1}{n^2}=\frac{4(n+1)+1}{n}=4 \cdot \frac{(n+1)}{n}+\frac{1}{n}$
nun wollte ich $z:=(\frac{n+1}{n})$ setzten, aber ich bekomme das $\frac{1}{n}$ nicht verarbeitet.
Also hätte ich dann $f(\frac{n+1}{n})=4 \cdot z+\frac{1}{n}$
mit $z:=(\frac{n+1}{n})$. Kann mir jemand weiterhelfen?
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-10
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Hallo,
f((n+1)/n)=(2+1/n)^2
(n+1)/n=1+1/n
Gruß Wauzi
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2544
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-10
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\quoteon(2022-07-10 16:06 - mathestudent17 im Themenstart)
$\frac{4n(n+1)+1}{n^2}=\frac{4(n+1)+1}{n}$
\quoteoff
Als Ergänzung: Das ist übrigens grottenfalsch. Differenzen und Summen kürzen nur die ...
Gruß,
Küstenkind
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mathestudent17
Junior 
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10
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Hallo Leute,
sorry, dass ich den Fehler nicht entdeckt habe! Danke, dass ihr drüber geguckt habt, vielen Dank!
Aber wie kann ich denn jetzt weitermachen, ich kann doch nicht
$z=(2+\frac{1}{n})^2$ setzten oder?
folglich dann $f:K_2(0)\to \mathbb{C} , z \mapsto z^2$ ???
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11614
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-10
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mathestudent17
Junior
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10
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Hi,
ich steh echt was auf dem Schlauch, sorry @Wauzi
Also ist $f: K_2(0) \to ,z \mapsto (1+z)^2$ mit $z= 1+\frac{1}{n}$.
Nun müssen wir die Eindeutigkeit von $f$ zeigen. Sei deshalb $g:K_2(0) \to \mathbb{C}$ eine weitere solche Funktion. $Da K_2(0)$ ein Gebiet in $\mathbb{C}$ ist, sind $f$ und $g$ holomorph auf $K_2(0)$ und die Menge $\{1+\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\}\subseteq \{z\in K_2(0): f(z)=g(z)\}:= M$ hat einen Häufungspunkt $1 \in K_2(0)$. Das heißt, dass $M$ nicht diskret ist in $K_2(0)$. Daraus folgt mit einem Lemma zum Identitätssatz aus meinem Skript, dass $f \equiv g$. Also ist $f$ eindeutig
ist der restliche Beweis so richtig?
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