| |
| Autor |
  Zustandsdichte für freie Elektronen in verschiedenen Dimensionen |
|
RogerKlotz
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
 |  Themenstart: 2022-07-10
|
Hallo Zusammen.
Ich bearbeite folgende Aufgabe:
Die Zustandsdichte D(E) gibt an wie viele Zustände es pro Energie und pro Volumen gibt.
Berechnen Sie die Zustandsdichte D(E) für freie Elektronen unter Verwendung der Dispersionsrelation
\[E = \frac{\hbar^{2} k^{2}}{2m} \]
a) in einer Dimension,
b) in zwei Dimensionen, und
c) in drei Dimensionen.
Hinweis 1: Die Dispersionsrelation für freie Elektronen gibt vor, dass die Zustände gleicher
Energie auf einer Kugeloberfläche mit konstantem Radius liegen. Somit kann D(E) alternativ auch aus der Anzahl der Zustände welche im d dimensionalen k-Raum auf einer d-dimensionalen Kugelschale der Dicke dK liegen, gewonnen werden.
Meine Ideen:
Ich würde die Zustandsdichte über das Integral rechnen:
\[D(E) = \int_{E=const.}^{} \frac{2D(k)}{|\nabla E(k)|} dS_{E} \]
Ich weiß hier nicht genau wie D(K) definiert ist. In meiner Vorlesung habe ich folgende Definition gefunden:
\[D(k) = (\frac{l}{2 \pi})^{n}\]
Entsprechend würde sich n für jede Dimension ändern. Darüber hinaus weiß ich nicht so ganz wie ich mit dem Ausdruck im Nenner umgehe. Habe da keine Definition gefunden..
|
 Profil
|
PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-11
|
\quoteon(2022-07-10 17:41 - RogerKlotz im Themenstart)
Ich würde die Zustandsdichte über das Integral rechnen:
\[D(E) = \int_{E=const.}^{} \frac{2D(k)}{|\nabla E(k)|} dS_{E} \]
\quoteoff
Das entspricht zwar im Grunde dem Hinweis, aber ich würde direkter vorgehen. Der Angabentext sagt dir doch bereits, was die Zustandsdichte ist:
\quoteon(2022-07-10 17:41 - RogerKlotz im Themenstart)
Die Zustandsdichte D(E) gibt an wie viele Zustände es pro Energie und pro Volumen gibt.
\quoteoff
Also ist $D(E)=\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}E}$, wobei $N$ die Anzahl der Zustände als Funktion der Energie des freien Elektronengases ist. Diese ist zu bestimmen, und der Hinweis sagt dir, wie vorzugehen ist: Betrachte den reziproken Raum ("$k$-Raum") und bestimme, wie groß das $d$-dimensionale Volumen $V_N$ ist, in dem $N=N(k)$ Zustände liegen. Daraus erhält man dann $N(k)$ (hierbei Spin berücksichtigen!). Benutze dann die Dispersionsrelation, um das als Funktion von $E$ auszudrücken und somit $D(E)$ zu berechnen.
Grüße,
PhysikRabe
|
Profil
|
RogerKlotz
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-11
|
Hallo. Danke für die Antwort. Mit dem Hinweis \(\frac{dN}{dE}\) war es dann ganz einfach. Etwas vergleichbares habe ich in der VL nicht gefunden. Mit ein wenig nachdenken, wäre ich vllt auch drauf gekommen...Naja. Sei's drum.
Hier meine Lösung für 1D.
1D:
Definition der Zustandsdichte im k-Raum:
\[D(\vec{k}) = \left(\frac{L}{2\pi}\right)^{n}\]
\[\Rightarrow D(\vec{k}) = \frac{L}{2\pi}\]
Sei N die Anzahl der Zustände.
\[\Rightarrow N = \frac{L}{2\pi} \cdot 2k = \frac{Lk}{\pi} \]
\(2k \equiv \) Reziproke Länge
Mit der Dispersionrelation \(E = \frac{\hbar^{2}}{2m}k^{2}\) nach k umgestellt erhalte ich dann
\[N=\frac{L}{\pi} \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}\]
Definition der Zustandsdichte D(E):
\[D(E) = \frac{dN}{dE}\]
\[\Rightarrow D(E) = \frac{L}{2\pi} \left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{E}}\]
Hier an der Stelle sollte spätestens der Spin berücksichtigt werden. Daher erhält man als Ergebnis:
\[D_{1D}(E) = \frac{L}{\pi} \left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{E}}\]
Der 2D und 3D Fall geht ganz Analog. Lediglich die Zustandsdichte im k-Raum ändert sich natürlich. Darüber hinaus muss man aus der Länge (s.o) entsprechend Fläche und Volumen machen.
Danke nochmals für deine Antwort!
|
Profil
|
PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-11
|
\quoteon(2022-07-11 12:10 - RogerKlotz in Beitrag No. 2)
\[\Rightarrow D(E) = \frac{L}{2\pi} \left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{E}}\]
\[D_{1D}(E) = \frac{L}{\pi} \left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{2} \frac{1}{\sqrt{E}}\]
\quoteoff
Hier sind dir Tippfehler passiert: Der Exponent bei $\frac{2m}{\hbar^{2}}$ sollte $1/2$ (also eine Wurzel) sein, nicht ein Quadrat.
\quoteon(2022-07-11 12:10 - RogerKlotz in Beitrag No. 2)
Der 2D und 3D Fall geht ganz Analog. Lediglich die Zustandsdichte im k-Raum ändert sich natürlich. Darüber hinaus muss man aus der Länge (s.o) entsprechend Fläche und Volumen machen.
\quoteoff
Genau. Die $N$ Zustände liegen dann entsprechend in einer Kreisfläche bzw. einem Kugelvolumen vom Radius $k$, und aus der reziproken Fläche bzw. Volumen eines einzigen Zustands bekommt man wieder $N(k)$. Der Rest läuft analog ab. Du kannst deine Ergebnisse noch gerne hier schreiben, wenn du möchtest. Man sieht ganz schön, dass die Potenz der Energie von der Dimension abhängt, und in 2 Dimensionen passiert da etwas ganz Interessantes...
Grüße,
PhysikRabe
|
Profil
|
RogerKlotz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
RogerKlotz hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
