| |
| Autor |
 Konvergenz in Verteilung |
|
konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-07-14
|
Hallo hilfsbereite Ausbilder!
Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten, auf Grund meiner angesammelten Unsicherheit, benoetige ich etwas begradigung, ggf. Denkanstoeße.
einiges habe ich bereits nach erlernt, was trivial, aber sehr wichtig war und einige Aufgaben extrem vereinfachte. Damit moechte ich sagen, oft stehe ich auf dem Schlauch, also voellig triviale Handgriffe sind es meist, was bei mir fehlt.
zum Sachverhalt:
\(\text{Sein} \ X_1,X_2,...,X_n \ \text{Zufallsvariablen mit} \ X_n \thicksim U[-\sqrt{n},n] \\ \text{Welche der folgenden Zufallsvariablen konvergieren in Verteilung?} \\ a) \ X_n \quad b) \ \frac{X_n}{\sqrt{n}} \quad c) \ \frac{X_n^2}{n^2} \quad d) \ \frac{\sqrt{X_n}}{n}\)
bezueglich a) Ich habe in dem Fall nun schlicht die Verteilungsfunktion fuer die Gleichverteilung auf einem Invervall betrachtet und kaeme auch eine Konvergenz in Verteilung gegen \(0\).
bei b) aehnlich
bei c), d) laesst sich dies nicht so einfach umsetzen, selbst wenn ich in der Verteilung etwas rumschiebe, habe ich immer das Problem mit dem Fehlen einer einfachen Umkehrung. Also muesse ich viel einschraenken. an sich ist mir das etwas zu diffus, eine Konvergez in Verteilung erwarte ich also weniger. Jedoch ist dies sehr unsauber und wenig mathematisch.
Ich fande noch nach einem Gegenbeispiel ueber den Erwartungswert.
Ich waere an dieser stelle ueber Begradigung jedoch sehr Dankbar!
VG Konvergiert
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-14
|
\quoteon(2022-07-14 22:12 - konvergiert im Themenstart)
bezueglich a) Ich habe in dem Fall nun schlicht die Verteilungsfunktion fuer die Gleichverteilung auf einem Invervall betrachtet und kaeme auch eine Konvergenz in Verteilung gegen \(0\).
\quoteoff
Nein: $P(X_n\le2)\to\frac12$, aber $P(0\le2)=1$.
\quoteon(2022-07-14 22:12 - konvergiert im Themenstart)
bei b) aehnlich
\quoteoff
Nein. Welche Verteilung hat denn ${X_n\over\sqrt n}$?
--zippy
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15
|
Hallo Zippy,
vielen Dank fuer die Hilfe.
\(\text{betrachte ich} \quad P(X_n\leq 2)=\frac{2+\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}}\)
\(\text{dann ist meines Erachtens der Grenzwert} \lim_{n \to \infty}[\frac{2+\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+1}{\sqrt{n}+1}]=\frac{1}{\infty}=0\)
leider kann ich mir aus aktueller Sicht unter \(P(0\leq2)\) wenig vorstellen, ist damit jegliches ereignis gemeint, welches \(0\leq2\) beschreibt? also jedes und damit gleich \(1\)?
Wie bereits beschrieben, offensichtlich fehlt mir an dieser Stelle etwas Einsicht, Wissen, diese Luecke erbitte ich unbedingt zu schließen.
Auch ueber Hinweise, was mir hier konkret fehlt, bin ich sehr dankbar!
Ich hatte gestern ueberlegt, ob das ganze evt. uber die Defintion der straffheit besser zu loesen sei.
und ggf. mit gegenbeispiel ueber den Erwartungswert und einer gml.stetigen Funktion fuer die Faelle in denen es nicht in Verteilung konvergiert.oder besser ueber die charakteristische Funktion und dessen Momente?
VG Konvergiert
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15
|
zusatz:
\(\text{bezueglich b) habe ich auf zwei Weisen betrachtet einmal umstaendlicher ueber die Dichtefunktion, mit Transformation} \\ \text{und einmal ueber direktes einsetzen in der Verteilung, ich beschreibe mal ersteres im Ansatz} \\ \text{setze} \ Y_n=\frac{X_n}{\sqrt{n}} \ \text{dann ergibt sich fuer die Dichtefunktion} \\
f_{Y_n}(y)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}} & \text{für } -1\leq y\leq\sqrt{n} \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\)
\(\text{also die Verteilungsfunktion} \\ F_{Y_n}(y)=\begin{cases}
0 & \text{fuer} \ y<-1 \\
\frac{(y+1)\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}} & \text{für } -1\leq y\leq\sqrt{n} \\
1 & \text{fuer} \ y>\sqrt{n}
\end{cases}\)
\(\text{also} \ F_{Y_n}(y)\xrightarrow [n \to \infty]{} 0 \)
wenn y fest und ungleich wurzel n. Das Problem besteht dann wohl bezueglich der Grenzwerte fuer y gegen unendlich und minus unendlich, richtig?
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-15
|
Ich hatte $U[-\sqrt n,\sqrt n]$ statt $U[-\sqrt{n},n]$ gelesen.
Mit $X_n\sim U[-\sqrt{n},n]$ können wir folgende Zufallsvariablen betrachten:
a) $A_n=X_n$, $A_n\sim U\left[-\sqrt n,n\right]$.
b) $B_n={X_n\over\sqrt n}$, $B_n\sim U\left[-1,\sqrt n\right]$.
c) $C_n={X_n\over n}$, $C_n\sim U\left[-\frac1{\sqrt n},1\right]$.
d) $D_n={X_n\over n^2}$, $D_n\sim U\left[-\frac1{n\sqrt n},\frac1n\right]$.
$A_n$ und $B_n$ konvergieren nicht, da $P(A_n\le x)\to0$ und $P(B_n\le x)\to0$ für jedes $x$. Es können somit keine Verteilungsfunktionen $F_A$ oder $F_B$ mit $P(A_n\le x)\to F_A(x)$ bzw. $P(B_n\le x)\to F_B(x)$ existieren.
$C_n\to C\sim U[0,1]$ und $D_n\to D=0$ kannst du direkt durch die Betrachtung der Verteilungsfunktionen von Folge und Grenzwert zeigen (wobei im Falle von $D_n$ die Unstetigkeit der Verteilungsfunktion von $0$ bei $x=0$ zu beachten ist).
Aus $C_n\to C$ folgt dann ${X_n^2\over n^2}=C_n^2\to C^2$.
Für ${\sqrt{X_n}\over n}$ müsstest du erstmal definieren, wie mit den negativen Werten von $X_n$ beim Wurzelziehen umzugehen ist. Klar ist, dass ${\sqrt{|X_n|}\over n}=\sqrt{|D_n|}\to0$.
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15
|
Vielen Dank Zippy, das ordnet schon mal erheblich und hilft mir Luecken zu schließen bzw. Verstaendnis zu erlangen. ich werde nach dem Abendessen ausarbeiten, so weit, wie ich komme. und melde mich dann entsprechend zurueck.
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-17
|
Hallo nochmal, also ich bin jetzt mal dazu gekommen mir das anzusehen.
Ich habe doch noch Verstaendnisprobleme.
\(\text{fuer} A_n \ \text{ergibt sich fuer die Dichtefunktion} \\
f_{A_n}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{n+\sqrt{n}} & \text{für } -\sqrt{n}\leq x\leq n \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\)
\(\text{also die Verteilungsfunktion} \\ F_{A_n}(x)=\begin{cases}
0 & \text{fuer} \ x<-\sqrt{n} \\
\frac{x+\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}} & \text{für } -\sqrt{n}\leq x\leq n \\
1 & \text{fuer} \ x>n
\end{cases}\)
\(\text{also} \ F_{A_n}(x)\xrightarrow [n \to \infty]{} 0=F_A(x) \ \text{fuer}\ x \in \mathbb{R}\)
und das Problem ist, dass damit der \(\lim_{x \to \infty} F_{A}(x)\neq 1\)
richtig?
Deine Aussage \(P(A_n>x)\rightarrow 0 \ \text{verstehe ich nicht ganz da damit} \ 1-P(A_n\leq x)=P(A_n>x)\rightarrow 1 \ \text{waere?} \)
ohje, also meine Ausdrucksweise ist manchmal mangelhaft.
ich verstand ja bereits, was sie ausgesagt haben.
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-17
|
\quoteon(2022-07-17 10:59 - konvergiert in Beitrag No. 6)
$f_{A_n}(x)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{n}}{n+\sqrt{n}} & \text{für } -\sqrt{n}\leq x\leq n \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$
\quoteoff
Wo kommt denn $\sqrt n$ im Zähler her?
\quoteon(2022-07-17 10:59 - konvergiert in Beitrag No. 6)
und das Problem ist, dass damit der \(\lim_{x \to \infty} F_{A}(x)\neq 1\)
\quoteoff
Ja, genau. Ich habe oben in Beitrag Nr. 4 den Absatz zu $A_n$ und $B_n$ nochmal deutlicher formuliert.
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-17
|
da habe ich mich lediglich verschieben. danke fuer die korrektur.
ich habe alles so weit ausformuliert, nach der pruefung nehme ich mir die zeit und schreibe dies hier auch nochmal genau auf.
herzlichen dank!
|
Profil
|
konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-17
|
wobei, wenn ich versuche d) direkt zu betrachten,
sodass ich in der neuen Dichtefunktion fuer die Minuswerte ein c suche, so habe ich zwar eine moegliche Verteilungsfuktion erstellen koennen, also alles erstmal ohne Grenzwertbetrachtung,
welche aber nicht rechtsseitig stetig ist in \(\frac{\sqrt{n}}{n}\)
ich muss leider auch erstmal etwas Essen.
|
Profil
|
| konvergiert hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
