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| Autor |
  Verteilung bestimmen, charakteristische Funktion gegeben |
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konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-07-15
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Hallo Wegweisende!
Eine Weitere Stelle an der ich etwas haenge.
\(\text{Gegeben ist eine charakteristische Funktion und die Verteilungsfunktion ist zu bestimmen}\)
\( a) \ \sum_{k=0}^{\infty}a_k cos(kt) \ \text{mit} \ a_k \geq 0 \ \text{und} \ \sum_{k=0}^{\infty} a_k=1 \\ b) \ cos(t)^2 \\ c) \ e^{-t^2} \)
also ich habe einiges versucht und umgeformt, aber ich komme nicht zu einem definitiven Ziel.
allgemein habe ich es mit folgendem Ansatz betrachtet
\(\mathbb{E}[X^k]=\frac{\varphi_{X}^k(0)}{i^k} \\ \text{daraus habe ich den Erwartungswert und die Varianz berechnet, um zu ueberlegen,} \\ \text{ob mich das weiter bringt} \\
a) \ \mathbb{E}[X]=0 \ Var(X)=\infty \\ b) \ \mathbb{E}[X]=0 \ Var(X)=2 \\ c) \ \mathbb{E}[X]=0 \ Var(X)=2\)
zu c)
ich kam auf die Idee folgendermaßen vor zu gehen, sodass ich auf \(\mathcal{N}(0,2)\thicksim X\) als Verteilung schloss.
\(\text{mit} \ Z,Y\thicksim \mathcal{N}(1,0) \ \text{also} \ \varphi_{Y}(t)\varphi_Z(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}=e^{-2\frac{t^2}{2}}=e^{-t^2}=\varphi_{Y+Z}\)
sodass die Verteilung von \(Y+Z\) das gesuchte ist also \(\mathcal{N}(0+0,1+1)\thicksim Y+Z\)
zu b)
\(\text{ich weiß, daß das Diracmaß mit} \ \frac{1}{2}\delta_{-1}+\frac{1}{2}\delta_{1} \ \text{auf} \\ \mathbb{E}[e^{itX}]=\frac{1}{2}e^{it}+\frac{1}{2}e^{-it}=cos(t)=\varphi_X(t) \ \text{schließen laeßt}\)
sodass ich an dieser stelle aehnlich wie bei c) vorgehen wuerde.
jedoch weiß ich nicht ganz, was mir das fuer eine Verteilung beschreibt.
Ich habe ja quasi
\(\frac{1}{4}\delta_2+\frac{1}{4}\delta_{-2}+\frac{1}{2}\delta_0\)
zu a)
\(\text{die Verteilung ist symmetrisch, da die charakteristische Funktion reel ist} \\ a_kcos(kt)=a_k\frac{e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}=\frac{a_k}{2}e^{ikt}+\frac{a_k}{2}e^{-ikt}\)
also ist auch an dieser Stelle das DiracMaß eine Hilfe?
mit \(\frac{a_k}{2}\delta_k+\frac{a_k}{2}\delta_{-k}\)
die Summe \(\sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}\frac{a_k}{2}\) beschreibt also die Verteilungsfunktion, der gesuchten Verteilung. Moment das stimmt natuerlich nicht ganz.
Aber es gilt in jedem Fall
\(P(X=k)=\frac{a_k}{2} \ und \ P(X=-k)=\frac{a_k}{2}\)
Das kenne ich zumindest schon mal, und werde mich nochmal danach belesen.
Jedoch komme ich an diesem Punkt bisher noch nicht wirklich weiter.
Vielen Dank fuer hilfreiche Tips.
VG Konvergiert
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1688
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-15
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Hallo konvergiert,
wie hängen denn generell die charakteristische Funktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammen?
Außerdem:
\quoteon(2022-07-15 18:31 - konvergiert im Themenstart)
Hallo Wegweisende!
Eine Weitere Stelle an der ich etwas haenge.
\(\text{Gegeben ist eine charakteristische Funktion und die Verteilungsfunktion ist zu bestimmen}\)
\( a) \ \sum_{k=0}^{\infty}a_k cos(kt) \ \text{mit} \ a_k \leq 0 \ \text{und} \ \sum_{k=0}^{\infty} a_k=1 \\ b) \ cos(t)^2 \\ c) \ e^{-t^2} \)
\quoteoff
sollte das nicht eher \(a_k\le 1\) heißen?
lg Wladimir
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konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-15
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Hallo, vielen Dank fuer die Rueckmeldung, ich habe alles nochmal auf Fehler geprueft und korrigiert.
auf deine Frage, Aufforderung.
Die Dichtefunktion steckt in dem Integral fuer den Erwartungswert, also die charakteristische Funktion verformt ueber die Verteilung.
Da sie momenterzeugend ist, beschreibt sie die Abweichung im kten Mittel, um entwicklungspunkt 0. Die Gleichmaeßigkeit erlaubt eine gradlinige Betrachtung. Eine glaettende Verformung.
Oder willst du auf die Umkehrung der Fouriertransformation hinaus?
Das so im groben. Was uebersehe ich?
Kann es sein, dass ich die Verteilung quasi bereits bestimmt habe?!
Also gar nichts weiter zu machen ist?
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wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1688
Wohnort: Freiburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-17
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Hallo konvergiert,
ich meinte tatsächlich den Zusammenhang mit der Fourier-Trafo. Bei der a) müsste man die Wahrscheinlichkeitsfunktion doch leicht ablesen können. Dein Ergebnis sollte auch richtig sein. Ich muss allerdings sagen, dass ich keine Erfahrungen mit Stochastik habe, vielleicht guckt sich das noch jemand an.
lg Wladimir
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konvergiert
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-17
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Ich soll ja lediglich die Verteilung angeben, dies sollte damit erledigt sein.
Ich muss weder eine Verteilungsfunktion, noch die Dichtefunktion bestimmen.
Ich danke dir dennoch fuer deine Hilfe. Moment doch, ich schaue nochmal nach.
richtig, ich hatte mich in diese hier angegebene Aufgabenstellung verrannt.
Ich soll wirklich nur die Verteilung bestimmen. Ich hatte mir also umsonst den Kopf zerbrochen.
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konvergiert hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
konvergiert hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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