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 Limes Supremum von Mengen gleich 1 |
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JonasR
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2019
Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2022-07-16
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Hallo, ich habe Probleme bei einer alten Klausuraufgabe zur Stochastik.
Es geht um folgende Aufgabe:
Sei $(\Omega, F, P)$ ein W - Raum und $A_{1}, A_{2}, \ldots \in F$.
Zeigen Sie: Gibt es ein $q < 1$ mit $P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} \right ) \le q^{N - n}$ für alle $n, N \in \mathbb{N}$ mit $n \le N$, so gilt $P(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}) = 1$
Mir fällt leider kein vernünftiger Ansatz ein. Ich hatte mir folgendes überlegt:
Da $P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} \right ) \le q^{N - n}$ gilt, gilt $P \left (\lim\limits_{N \to \infty} \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} \right ) = P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{\infty} \overline{A_{m}} \right ) \le \lim\limits_{N \to \infty} q^{N - n} = 0$
Also gilt $P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{\infty} \overline{A_{m}} \right ) = 0$.
Jetzt schreibe ich den Schnitt um:
$\bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} = \bigcap\limits_{m = n}^{N} \Omega \setminus A_{m} = \Omega \setminus \bigcup\limits_{m = n}^{N} A_{m} $
Es gilt $\lim\limits_{N \to \infty} \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} = \bigcap\limits_{m = n}^{\infty} \overline{A_{m}} = \Omega \setminus \lim\limits_{N \to \infty} \bigcup\limits_{m = n}^{N} A_{m} = \Omega \setminus \bigcup\limits_{m = n}^{\infty} A_{m}$
Weiter gilt $P \left ( \Omega \setminus \bigcup\limits_{m = n}^{\infty} A_{m} \right ) = 1 - P \left ( \bigcup\limits_{m = n}^{\infty} A_{m} \right )$
Ich dachte, dass ich hiermit was anfangen könnte, aber bin an dieser Stelle etwas ratlos. Ich bin mir nicht einmal sicher, ob ich den Limes korrekt angewendet habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte! :)
Gruß, Jonas
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46781
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-16
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\quoteon(2022-07-16 03:06 - JonasR im Themenstart)
Da $P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} \right ) \le q^{N - n}$ gilt, gilt $P \left (\lim\limits_{N \to \infty} \bigcap\limits_{m = n}^{N} \overline{A_{m}} \right ) = P \left ( \bigcap\limits_{m = n}^{\infty} \overline{A_{m}} \right ) \le \lim\limits_{n \to \infty} q^{N - n} = 0$
\quoteoff
Hi JonasR,
mit dieser Abschätzung stimmt etwas nicht. Man kann nicht n gegen ∞ gehen lassen bei festem N, weil n≤N ist. Außerdem gilt q^(N-n)->\inf für n->\inf.
Gruß Buri
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JonasR
Wenig Aktiv
Dabei seit: 31.10.2019
Mitteilungen: 69
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16
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Hallo!
Ich sehe, dass ich mich vertippt habe. Ich meinte eigentlich $lim\limits_{N \to \infty}$. Ich ändere das in meinem ursprünglichen Beitrag.
Hätten Sie eine Idee, wie man die Aufgabe angehen könnte?
Gruß, Jonas
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