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 Konvergenz in Verteilung |
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konvergiert
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-07-16
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Hallo, eine weitere Frage.
\(\text{Sein} \ X,X_1,X_2,... \ \text{Zufallsvariablen mit} \ X_n \xrightarrow[]{d}X\)
\(\text{Sein} \ a_1,a_2,a_3,.. \ \text{reele Zahlen mit} \ \text{und} \ \lim_{n \to \infty}a_n=a\)
\(\text{zu zeigen} \ a_nX_n \xrightarrow[]{d}aX\)
Ich habe einige Ansaetze, ich bin mir aber zu unsicher
Mit
\(\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\varphi(X_n)]\)=\( \mathbb{E}[\varphi(X)]\)
\(\lim_{n \to \infty}a_n \mathbb{E}[\varphi(X_n)]\)=\( a\mathbb{E}[\varphi(X)]\)
\(\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[a_n\varphi(X_n)]\)=\( \mathbb{E}[a\varphi(X)]\)
zu arbeiten
\(\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\varphi(a_nX_n)]\)=\( \mathbb{E}[\varphi(aX)]\)
Da \(\varphi(a_nX_n)\) stetig und beschraenkt.
Aber ich bekomme das nicht in eine klare Struktur.
Kann ich \(\varphi(a_nx)=\tilde \varphi(x)\) setzen und dann
\(\lim_{n \to \infty}\mathbb{E}[\varphi(a_nX_n)]=\mathbb{E}[\tilde \varphi(X_n)]=\mathbb{E}[\tilde \varphi(X)]\)
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AnnaKath
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-16
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Huhu konvergiert,
Du hast sicher richtige Hilfsmittel zur Hand genommen, leider kann ich Deinen Ansatz nicht nachvollziehen. Dein $\tilde{\varphi}$ ist doch ebenfalls von $n$ abhängig und es gibt keinen Hinweis darauf, dass man etwa monotone Konvergenz o.ä. verwenden könnte.
Aber einen Tipp möchte ich Dir gerne geben: Statt der eigentlichen Aussage ist es m.E.n. genauso aufwändig den folgenden, weitaus allgemeineren Satz zu beweisen:
Seien $U_n, U$ und $V_n, V$ reelle Zufallsvariablen (auf dem gleichen W'Raum), $c\in\mathbb{R}$ mit $U_n \rightarrow U$ und $V_n \rightarrow V$ i.V. Gilt darüber hinaus $V=c$ f.s., so konvergiert $V_nU_n \rightarrow VU = cU$ in Verteilung.
lg, AK
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konvergiert
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16
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Hallo AnnaKath,
ja, den Satz habe ich bereits bewiesen, jedoch sodass zweiteres in Verteilung konvergiert, theoretisch waere das kein Problem.
Ich weiß nur nicht, wie mir das bei einer reelen Zahlenfolge weiter hilft.
Diese als ZV definieren?
Ich habe sehr viel nach gelernt in den letzten Tagen und bin einfach nicht mehr ganz fit, mein Kopf raucht von all den ganzen Zusammenhaengen.
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AnnaKath
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-16
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Huhu,
wenn Du diesen Satz bereits bewiesen hast, ist die Aufgabe ein blosses Korollar.
Wähle $V_n$ so, dass $V_n=a_n$ f.s. Dann folgt wegen $\lim a_n = a$ natürlich auch $V_n \rightarrow V$ in Verteilung mit $V=a$ f.s. Wende nun den bereits bewiesenen Satz an.
lg, AK
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konvergiert
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-16
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Hallo Annkath,
oh, ja richtig, es gibt ja Einpunktverteilte ZV.
Ich bin voellig verpeilt derzeit.
Vielen Dank fuer den Wegweiser.
btw. waere auch das folgende gegangen?
wegen \(\lim_{n \to \infty}a_nX_k=aX_k\)
und \(X_n \xrightarrow[]{d}X \ \text{folgt, da fuer stetige funktionen, hier setze} \ g(x)=ax \ \text{, gilt} \\ g(X_n)\xrightarrow[]{d}g(X) \ \text{, das geforderte}\)
wobei das sicher komplizierter ist, ggf. mit supremumsnorm. seufz dann eben doch ueber den langen weg. hatte gehofft das geht auch etwas eleganter.
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AnnaKath
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-17
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Aus Deiner letzten Bemerkung folgt doch nur $aX_n \rightarrow aX$ i.V. ?! Das ist nicht die gesuchte Aussage.
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| konvergiert hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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