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  DGL Bewegung in einem Zentralkraftfeld |
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mannoschen
Junior 
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-07-20
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Hallo zusammen, beifolgendem habe ich gerade Schwierigkeiten:
Sei E ein \IR-Banachraum, B offene Teilmenge von E und g: B -> \IR eine lokal Lipschitz-stetige Funktion. Sei nun y: I -> E eine lösung von y'' = g(y) * y, \xi\el\ I und U der Untervektorraum der von den Vektoren y(\xi) und y'(\xi) aufgespannt wird.
Zu zeigen: y(I) \subsetequal\ U
Meine Ideen:
Ich könnte zunächst zeigen das g(y) * y ebenfalls die lokale Lipschitz Bedingung erfüllt nur wüsste ich nicht wie das weiterhelfen sollte, ohne Anfangsbedingung kann ich auch keine Aussage über Eindeutigkeit und maximale Lösung geben.
Für die DGL 2. Ordnung haben wir definiert das der "2-Jet" j_n y(t) = (y(t), y'(t)) wäre auch das scheint mich nicht weiterzubringen.
Ich habe versucht y(t) als Linearkombinationen der beiden Vektoren von U Aufzustellen, bisher gescheitert.
Mir fehlt ein sinnvoller Ansatz.
Grüße
mannoschen
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-21
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Moin mannoschen,
deine Idee hier
\quoteon(2022-07-20 19:51 - mannoschen im Themenstart)
Ich habe versucht y(t) als Linearkombinationen der beiden Vektoren von U Aufzustellen
\quoteoff
geht in die richtige Richtung.
Betrachte zunächst die Abbildung $h: \mathbb{R}^2 \to E, (\eta_1, \eta_2) \mapsto \eta_1 y(\xi) + \eta_2 y'(\xi)$ und definiere dann $O := h^{-1}(B)$ und $f := g \circ h \rvert_O$. Zeige nun, dass
\[
y(x) = \eta_1(x) y(\xi) + \eta_2(x) y'(\xi)
\]
für alle $x \in I$ gilt, wobei $I \ni x \mapsto (\eta_1(x), \eta_2(x))$ die Lösung des AWPs
\[
\begin{pmatrix}
\eta_1 \\
\eta_2
\end{pmatrix}''
=
f(\eta_1, \eta_2)
\begin{pmatrix}
\eta_1 \\
\eta_2
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
\eta_1 \\
\eta_2
\end{pmatrix}(\xi)
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
\eta_1 \\
\eta_2
\end{pmatrix}'(\xi)
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\]
ist.
LG,
semasch
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-21
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Hallo,
vielleicht geht es auch so, dass man die Dgl. in ein System umschreibt (das kommt man wohl nicht drum herum) und die Lösung mit dem Euler-Polygonzugverfahren annähert. Dabei sieht man hoffentlich, dass man in dem Unterraum bleibt, und das gilt dann auch für den Grenzwert.
Viele Grüße
Wally
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mannoschen
Junior 
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21
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Hallo semasch,
ich scheine mit deinem Tip noch nicht weiterzukommen.
Muss ich die Lösung des AWPs finden, wenn dem so wäre wie schaff ich das?
Ich verstehe wohl deinen Tip noch nicht so ganz.
Wally, da wir das Euler-Polygonzugverfahren nicht besprochen haben, komme ich mit der Idee leider nicht weiter, trotzdem danke.
Viele Grüße
mannoschen
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-21
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\quoteon(2022-07-21 12:49 - mannoschen in Beitrag No. 3)
ich scheine mit deinem Tip noch nicht weiterzukommen.
Muss ich die Lösung des AWPs finden, wenn dem so wäre wie schaff ich das?
Ich verstehe wohl deinen Tip noch nicht so ganz.
\quoteoff
Überlege dir, dass die rechte Seite der DGL des AWPs lokal Lipschitz ist. Damit hast du die Existenz einer Lösung des AWPs in einer Umgebung von $\xi$. Zeige, dass damit die Funktion $x \mapsto \tilde{y}(x) := \eta_1(x) y(\xi) + \eta_2(x) y'(\xi)$ in dieser Umgebung von $\xi$ eine Lösung des AWPs
\[\overline{y}'' = g(\overline{y}) \overline{y}, \quad \overline{y}(\xi) = y(\xi), \quad \overline{y}'(\xi) = y'(\xi)\]
ist. Gleiches gilt natürlich auch für $y$. Da auch die rechte Seite der DGL dieses AWPs lokal Lipschitz ist, folgt aufgrund der Lösungseindeutigkeit $y(x) = \tilde{y}(x)$ für $x$ in der oben genannten Umgebung von $\xi$. Folgere damit letztlich, dass die Lösung $x \mapsto (\eta_1(x), \eta_2(x))$ schon auf ganz $I$ existieren muss und dass $y(x) = \tilde{y}(x)$ für alle $x \in I$ gilt.
LG,
semasch
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mannoschen
Junior
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21
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Hallo semasch,
vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
LG
mannoschen
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mannoschen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mannoschen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | mannoschen wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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