| Autor |
  Berechnung Erwartungswert einer Zufallsgröße |
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Paulamathicus
Junior 
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 18
 |  Themenstart: 2022-07-21
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Hallo,
ich habe gerade etwas Probleme dabei, die Erwartungswerte von Zufallsgrößen zu berechnen und würde mich über Tipps und Hinweise freuen.
Es geht um die folgenden Aufgaben:
i) \(X\) und \(Y\) sind zwei unabhängige zum Parameter Eins exponentiell verteilte Zufallsgrößen. Zu berechnen:\[E(\text{exp}(\frac{X+Y}{2})\]
ii) \(X\) ist eine gleichverteilte Zufallsgröße auf \([0, \pi]\). Zu berechnen: \[E(\text{sin}(X))\].
iii) \(Y\) ist eine Poisson-verteilte Zufallsgröße zum Parameter \(\alpha \gt 0\). Zu berechnen: \[E(2^Y)\]
Nun ich weiß, dass ich den Erwartungswert einer Zufallsvariable wie folgt berechenen kann: \(E(X)=\sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X=x_i)\). Ich weiß nur nicht ganz, wie ich das nun für meine drei Beispielaufgaben anwende. Kann ich das einfach wie folgt machen:
Zu i) \(E(\text{exp}(\frac{X+Y}{2})=\text{exp}(\frac{\sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X=x_i)+y_i \cdot P(Y=y_i)}{2})\)
Schon vielen Dank im Voraus
LG Paula
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-21
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Vielleicht hilft dir ja schon der Hinweis weiter, dass du es hier in zwei von drei Fällen mit stetigen Zufallsvariablen zu tun hast. Dann wird in der Definition des Erwartungswertes aus der Summe bekanntlich ein Integral...
Generell drehen sich deine Aufgaben um dieses Konzept.
Kommst du damit weiter?
Gruß, Diophant
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Paulamathicus
Junior
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21
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Hallo Diophant :)
Danke für deinen Hinweis, ich probiere direkt mal ihn anzuwenden.
i)\[E(\text{exp}(\frac{X+Y}{2})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \text{exp}(\frac{x+y}{2})\cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) \text{ d}x\text{ d}y=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{(\frac{x+y}{2})}\cdot e^{-x} \cdot e^{-y} \text{ d}x\text{ d}y\]
Hier bin ich mir sehr unsicher, da wir hier nun zwei Zufallsvariablen haben.
ii)\[E(\text{sin}(X))=\int\limits_{-\infty}^{\infty} sin(x) \cdot f_X(x) \text{ d}x=\int\limits_{-\infty}^{0} sin(x) \cdot 0 \text{ d}x+\int\limits_{0}^{\pi} sin(x) \cdot \frac{x}{\pi} \text{ d}x + \int\limits_{\pi}^{\infty} sin(x) \cdot 1 \text{ d}x=0+\int\limits_{0}^{\pi} sin(x) \cdot \frac{x}{\pi} \text{ d}x + \int\limits_{\pi}^{\infty} sin(x) \text{ d}x=1+\int\limits_{\pi}^{\infty} sin(x) \text{ d}x\]
Das zweite bestimmte Integral bekomme ich nicht richtig gelöst.
iii)\[E(2^Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2^y\cdot \frac{\alpha^y}{y!}e^{-\alpha}\]
Schreite ich denn etwas in die richtige Richtung?
LG Paula
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Mati123
Junior 
Dabei seit: 06.02.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-21
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Hallo Paulamathicus,
zu i): Versuche vielleicht $$ \exp(a+b) = \exp(a) \cdot \exp(b) $$ (hier stand vorher was falsches, sorry!) anzuwenden. Was gilt für den Erwartungswert des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen?
zu ii): Wie sieht die Dichte der Gleichverteilung aus?
zu iii): Da die Poisson-Verteilung eine diskrete Verteilung ist kannst du den Teil dazu auf der von Diophant verlinkten Wikipedia Seite benutzen um statt dem Integral dort eine Reihe zu erhalten.
(Edit: Soll Y hier Poisson verteilt sein? Hab das aufgrund der Dichte gedacht.)
Gruß Mati123
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Paulamathicus
Junior
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-21
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Hi Mati,
also dann probiere ich mal deine Hinweise anzuwenden:
i)\[E(\text{exp}(\frac{X+Y}{2})=E(\text{exp}(\frac{X}{2}\cdot\frac{Y}{2}))=E(\text{exp}(\frac{X}{2}))\cdot E(\text{exp}(\frac{Y}{2}))\]
Darauf dann jetzt dann die Integrale anwenden???
ii) Ah hier hatte ich die Verteilungsfunktion von \(X\) genommen, aber mit der Dichtefunktion folgt dann:
\[E(\text{sin}(X))=\int\limits_{-\infty}^{\infty} sin(x) \cdot f_X(x) \text{ d}x=\int\limits_{0}^{\pi} sin(x) \cdot \frac{1}{\pi} \text{ d}x=\frac{2}{\pi}\]
iii) Ja genau, \(Y\) soll Poisson verteilt sein. Ich verstehe icht ganz, wie ich deinen Hinweis mit der Summe umsetzen soll. Etwa so?
\[E(2^Y)=\sum_{i=1}^\infty 2^{y_i}\cdot \frac{\alpha^y}{y_i!}e^{-\alpha}\]
LG Paula
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1004
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-21
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2022-07-21 10:37 - Paulamathicus in Beitrag No. 2)
i)\[E(\text{exp}(\frac{X+Y}{2})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \text{exp}(\frac{x+y}{2})\cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) \text{ d}x\text{ d}y=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{(\frac{x+y}{2})}\cdot e^{-x} \cdot e^{-y} \text{ d}x\text{ d}y\]
\quoteoff
Moin, warum machst du Schluss?
\[
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{(\frac{x+y}{2})}\cdot e^{-x} \cdot e^{-y} \text{ d}x\text{ d}y
&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}}\cdot e^{-\frac{y}{2}} \text{ d}x\text{ d}y\\
&=&\\
&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{y}{2}} \left(\,\,\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \text{ d}x\right)\text{ d}y\\
&=&\ldots
\end{eqnarray*}
\]
\quoteon(2022-07-21 10:37 - Paulamathicus in Beitrag No. 2)
Hier bin ich mir sehr unsicher, da wir hier nun zwei Zufallsvariablen haben.
\quoteoff
Hier sind keine zwei Zufallsvariablen nicht.
Sofern du die die einschlaegigen Saetze kennst ist der Tipp von Mati123 natuerlich sehr elegant.
vg Luis
P.S.: Die Integrationsgrenzen stimmen uebrigens nicht. Bedenke bspw. $f_X(x)=0$ fuer $x\le 0$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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Mati123
Junior
Dabei seit: 06.02.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-07-21
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Hallo Paulamathicus,
ii) ist korrekt.
Bei iii) habe ich das etwas anders gemeint, aber ich meinte vielleicht auch etwas anderes als im Wikipedia-Artiekl (bin mit der Notation da nicht ganz vertraut). Ich meinte, dass wenn wir eine diskrete Zufallsvariable $ Y: \Omega \to S $ haben (Bei Poisson-Verteilung ist $S = \mathbb{N}_0$) dann kann man den Erwartungswert folgenderweise berechnen:
$$ \mathbb{E}[g(Y)] = \sum_{n \in S} g(n)\mathbb{P}_Y(\{n\}) $$,
da $ f: S \to \mathbb{R}, n \mapsto \mathbb{P}_Y(\{n\}) $ eine Dichte von $\mathbb{P}_Y$ bzgl. des Zählmaßes ist. (Ich bin mir nicht sicher ob das auch im Wikipedia-Artikel gemeint ist da ich die Notation dort nicht kenne.) Wenn ihr sowas hattet könntest du das also für iii) anwenden.
Gruß Mati123
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Mati123,
\quoteon(2022-07-21 12:22 - Mati123 in Beitrag No. 6)
Ich meinte, dass wenn wir eine diskrete Zufallsvariable $ Y: \Omega \to S $ haben (Bei Poisson-Verteilung ist $S = \mathbb{N}_0$) dann kann man den Erwartungswert folgenderweise berechnen:
$$ \mathbb{E}[g(Y)] = \sum_{n \in S} g(n)\mathbb{P}_Y(\{n\}) $$,
da $ f: S \to \mathbb{R}, n \mapsto \mathbb{P}_Y(\{n\}) $ eine Dichte von $\mathbb{P}_Y$ bzgl. des Zählmaßes ist.
\quoteoff
Das ist doch genau das, was Paulamathicus auch im Sinn hat, oder täusche ich mich?
Nur muss der Summationsindex in #4 bei \(i=0\) beginnen (wie du ja auch schon festgestellt hattest).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Mati123
Junior
Dabei seit: 06.02.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-07-21
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Hallo Diophant,
\quoteon
Das ist doch genau das, was Paulamathicus auch im Sinn hat, oder täusche ich mich?
\quoteoff
Ja kann sein. Ich habe halt nicht ganz verstanden was $y_i$ in #4 und in dem Wikipedia-Artikel bedeuten soll. Nach meiner Notation müsste da ja dann einfach nur $i$ stehen wenn ich mich nicht täusche oder ist mit $y_i$ in diesem Fall das gleiche gemeint?
Gruß Mati123
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-21
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@Mati123:
\quoteon(2022-07-21 13:23 - Mati123 in Beitrag No. 8)
Ja kann sein. Ich habe halt nicht ganz verstanden was $y_i$ in #4 und in dem Wikipedia-Artikel bedeuten soll. Nach meiner Notation müsste da ja dann einfach nur $i$ stehen wenn ich mich nicht täusche oder ist mit $y_i$ in diesem Fall das gleiche gemeint?
\quoteoff
Oh, da hast du völlig recht, danke für den Hinweis!
Wenn schon der Summationsindex mit \(i\) bezeichnet wird, dann muss im Summand auch \(Y_i=i\) gesetzt werden.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Paulamathicus
Junior
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22
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Hallo nochmal,
also für i) erhalte ich dann den Erwartungswert 4. Ich habe es um es grob zu zeigen, wie folgt gerechnet:
\[\mathbb{E}(e^{\frac{X+Y}{2}})=\mathbb{E}(e^{\frac{X}{2}})\cdot \mathbb{E}(e^{\frac{Y}{2}})=\int_0^\infty e^{\frac{x}{2}}e^{-x}\text{ d} x\cdot \int_0^\infty e^{\frac{y}{2}}e^{-y}\text{ d} y =2\cdot 2=4\]
Nun nochmal zu iii)
Also erhalte ich die folgende Summe:\[E(2^Y)=\sum_{i=0}^\infty 2^{i}\cdot \frac{\alpha^i}{i!}e^{-\alpha}=e^{-\alpha}\sum_{i=0}^\infty \frac{(2\alpha)^i}{i!}=e^{-\alpha}e^{2\alpha}=e^{\alpha}\]
Passt das nun so? :)
Und nur nochmal zum Verständnis, also ich benutze bei stetigen Zufallsgrößen Intervalle und bei diskreten die Summe oder? Und im Grunde brauche ich nur die Dichtefunktion und kann dies dann "relativ leicht" berechnen. Ist das korrekt oder muss ich noch etwas beachten?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.11, eingetragen 2022-07-22
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Hallo,
\quoteon(2022-07-22 17:59 - Paulamathicus in Beitrag No. 10)
Passt das nun so? :)
\quoteoff
ja, das passt jetzt beides.
(Beachte bei Aufgabe 1, dass du hier ein Potenzgesetz und die Unabhängigkeit von \(X\) und \(Y\) dazu benutzt hast, das Doppelintegral zu vermeiden.)
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Paulamathicus
Junior
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22
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Super, ich danke euch vielmals :)
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