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  Varianz von diskreten Zufallsvariablen |
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FoulTarnished
Neu 
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-07-21
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Guten Tag liebe Leute.
Ich sitze gerade an der Vorbereitung für die anstehende Stochastik I-Prüfung und versuche schon den halben Vormittag, ein Problem bezüglich Varianzen diskreter Zufallsvariablen nachzuvollziehen. Die meisten Schritte verstehe ich, allerdings hakt es an einigen Stellen. Nun aber erstmal die Aufgabe.
Die Zufallsvariablen X_k, k = 1,2, ... seien unabhängig.
Es sei X_1 = 0.
X_2, X_3, ... seien folgendermaßen verteilt:
P(X_n = 0) = 1 - 1/(n*log(n))
P(X_n = n) = P(X_n = -n) = 1/(2*n*log(n))
(1) Es sei S_n = sum(X_k,k=1,n) (<=> S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n).
Zeigen Sie, dass V[S_n] <= n^2/log(n), für n>=4
Lösung:
1. Wir bemerken, dass X_k unabhängig sind => cov(X_i, X_j) = 0 (i != j)
=> V(sum(X_k,k=1,n)) = sum(V[X_k],k=1,n) = V[S_n].
Da X_1 = 0 folgt V[S_n] = sum(V[X_k],k=2,n).
2. Nutze V[X_k] = E[X_k^2] - E[X_k]^2
E[X_k] = sum(k * P(X_k=k),k=1,n) = 0 * P(X_k = 0) + n * P(X_k = n) + (-n) * P(X_n = -n). Da P(X_n = n) = P(X_n = -n) folgt E[X_k] = 0 für alle X_k.
=> V[X_k] = E[X_k^2].
<=> V[X_k] = sum(E[X_k^2],k=2,n) = sum(k^2 * 1/(k*log(k)),k=2,n) (*)
= sum(k/log(k),k=2,n) <= sum(n/log(n),k=1,n) = n^2/log(n) (**)
Hier kommen meine Fragen ins Spiel.
(*): Wie erhält man die letzte Gleichung, sprich: Wie berechnet man konkret einen Ausdruck der Form sum(E[X_k^2],k=2,n)? Leider finde ich dazu weder in Literatur noch im vorlesungseigenen Skript eine nützliche Information.
Meine Idee wäre, zu sagen k = i*j, und dann E[X_i*X_j] = E[X_i]*E[X_j] zu betrachten. Leider komme ich damit nicht auf das gesuchte Ergebnis.
(**) Wie kommt die Beziehung sum(n/log(n),k=1,n) = n^2/log(n) zustande? Auch dazu konnte ich bislang nicht fündig werden.
Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mich da aus dem Dunkeln herausholen könntet :-)
Viele Grüße
T
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1004
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-22
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%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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Moin FoulTarnished, willkommen hier im Forum.
(..) ist einfach:
\[\sum_{i=1}^n\frac{n}{\log(n)}=\frac{n}{\log(n)}\cdot\sum_{i=1}^n1=\frac{n}{\log(n)}\cdot n= \frac{n^2}{\log(n)}\]
vg Luis\(\endgroup\)
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1004
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-22
|
\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Ich kann nur mutmassen, was dir an (.) unklar ist. Fuer eine diskret verteilte Zufallsvariable $X$ sei $\mathcal{T}=\{x\in\IR\mid P(X=x)>0\}$. Dann ist per definitionem $\operatorname{E}[g(X)]=\sum_{x\in\mathcal{T}}g(x)P(X=x)$. Deswegen ist in deinem Fall fuer $k=2,\ldots,n$:
\[\operatorname{E}[X_k^2]=(-k)^2\frac{1}{2k\log(k)}+
0^2\left(1-\frac{1}{k\log(k)}\right)+k^2\frac{1}{2k\log(k)}=k^2\frac{1}{k\log(k)}\,.\]
vg Luis
\(\endgroup\)
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FoulTarnished
Neu 
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22
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\quoteon(2022-07-22 11:54 - luis52 in Beitrag No. 2)
Ich kann nur mutmassen, was dir an (.) unklar ist. Fuer eine diskret verteilte Zufallsvariable $X$ sei $\mathcal{T}=\{x\in\IR\mid P(X=x)>0\}$. Dann ist per definitionem $\operatorname{E}[g(X)]=\sum_{x\in\mathcal{T}}g(x)P(X=x)$. Deswegen ist in deinem Fall fuer $k=2,\ldots,n$:
\[\operatorname{E}[X_k^2]=(-k)^2\frac{1}{2k\log(k)}+
0^2\left(1-\frac{1}{k\log(k)}\right)+k^2\frac{1}{2k\log(k)}=k^2\frac{1}{k\log(k)}\,.\]
vg Luis
\quoteoff
Hi Luis,
herzlichen Dank für deine Erläuterungen. Jetzt macht alles Sinn. Ich war ein wenig verwirrt davon, dass bei (*) die Summe quasi "von nichts mehr abhängt"; dank dir weiß ich jetzt aber, wie dies zu verstehen ist. Selbiges gilt für E[g(X)]. Ist im Endeffekt ja doch gut nachvollziehbar :-)
VG
T
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