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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Erwartungswert als Funktion der Zeit
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Universität/Hochschule J Erwartungswert als Funktion der Zeit
Muon
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  Themenstart: 2022-07-21

Hi, es geht um die folgende Aufgabe. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55026_Bildschirmfoto_2022-07-21_um_17.43.49.jpg Für \psi(t) habe ich jetzt einfach die zeitliche Schrödingergleichung gelöst und dabei folgendes hinausbekommen: \psi(t)=e^(-(i*E*t)/$\hbar$) Leider komme ich jetzt mit der restlichen Aufgabe nicht weiter, also mit dem "und der Erwartungswert von x als Funktion der Zeit?" Ich würde jetzt einfach folgendes rechnen: =int(\psi(t)^(*)*x*\psi(t),t) Das ist wahrscheinlich falsch, da ich bestimmt die weiteren Definitionen aus der Aufgabe verwenden soll, leider weiß ich nicht wie?? Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-21

\quoteon(2022-07-21 17:59 - Muon im Themenstart) Für \psi(t) habe ich jetzt einfach die zeitliche Schrödingergleichung gelöst und dabei folgendes hinausbekommen: \psi(t)=e^(-(i*E*t)/$\hbar$) \quoteoff Das kann doch sicher nicht sein: $\Psi(0)$ ist die Linearkombination von zwei Energieeigenfunktionen zu unterschiedlichen Energien $E_1$ und $E_2$. Dein $\Psi(t)$ ist aber eine Energieeigenfunktion zur Energie $E$ (was immer du mit $E$ auch meinst). --zippy


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Muon
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22

Danke zippy für deine Hilfe 👍 Müsste dann \psi(t) wie folgt lauten? \psi(t)=1/sqrt(2)*(e^((-i*E_1*t)/$\hbar$)*\psi_1(x)+e^((-i*E_2*t)/$\hbar$)*\psi_2(x))


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-22

ja


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Muon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-23

Danke zippy fürs drüber schauen 👍 Für den Erwartungswert als Funktion der Zeit müsste ich ja dann das folgende ausrechnen: =int(\psi(t)^(*)*x*\psi(t),x,) = 1/2*int((e^((i*E_1*t)/$\hbar$)*\psi_1(x)^*+e^((i*E_2*t)/$\hbar$)*\psi_2(x)^*)*x*(e^((-i*E_1*t)/$\hbar$)*\psi_1(x)+e^((-i*E_2*t)/$\hbar$)*\psi_2(x)),x,) Durch das Ausmultiplizieren erhalte ich ja insgesamt vier Terme, wodurch ich auch das Integral in vier Integrale aufteilen kann, also: 1/2*int(\psi_1(x)^(*)*x*\psi_1(x),x,)=L/4 1/2*int(\psi_2(x)^(*)*x*\psi_2(x),x,)=L/4 1/2*e^(-i*\omega*t)*int(\psi_1(x)^(*)*x*\psi_2(x),x,)=-e^(-i*\omega*t)*(8*L)/(9*\pi)^2 1/2*e^(i*\omega*t)*int(\psi_2(x)^(*)*x*\psi_1(x),x,)=-e^(i*\omega*t)*(8*L)/(9*\pi)^2 Für die Ergebnisse der einzelnen Integrale habe ich die Definitionen auf dem Blatt verwendet und für die beiden letzten Integralen noch die andere Definition auf dem Blatt, also: E_2-E_1=$\hbar$*\omega um die Exponentialterme umzuschreiben. Zusammen addiert ergibt das Folgendes: =L/2-(8*L)/(9*\pi)^2*(e^(-i*\omega*t)+e^(i*\omega*t)) Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-23

\quoteon(2022-07-23 20:24 - Muon in Beitrag No. 4) = L/2-(8*L)/(9*\pi)^2*(e^(-i*\omega*t)+e^(i*\omega*t)) \quoteoff Das sieht richtig aus. Wenn du es in der Form$$ \langle\Psi(t)|x|\Psi(t)\rangle = L\left[\frac12-\left(\frac4{3\pi}\right)^2\cos(\omega t)\right] $$schreibst, wird dir Art der Bewegung noch etwas offensichtlicher.


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Muon
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-24

Danke zippy fürs drüberschauen und den Tipp, dass die beiden Exponentialterme man als Kosinus umschreiben kann 👍👍👍, hatte ich komplett übersehen.


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