| Autor |
  Zeigen/widerlegen, dass eine Menge eine σ-Algebra ist |
|
Berpal23
Aktiv 
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2022-08-06
|
Sei $(X,\mathcal S, \mu)$ ein W-Maß. Ist die Menge $\mathcal A:=\{A\in \mathcal S:\mu(A)\in\{0,1\}\}$ eine $\sigma$-Algebra?
Ich habe bereits gezeigt, dass die leere Menge in $\mathcal A$ ist und dass $A^c\in \mathcal A$ ist, wenn $A\in \mathcal A$ ist. Ich habe jedoch Probleme zu beweisen/widerlegen, dass die Vereinigung von Mengen in $\mathcal A$ wieder in $\mathcal A$ ist.
|
 Profil
|
Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-06
|
Für eine abzählbare Familie von Mengen $A_i$ mit $\mu(A_i) \in \{0,1\}$ mache eine Fallunterscheidung:
1. Fall: Es gibt ein $i$ mit $\mu(A_i)=1$. Was folgt dann?
2. Fall: Für alle $i$ gilt $\mu(A_i)=0$. Was folgt dann?
|
Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-06
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
seien also $A_1,A_2,\dotso\in \mathcal A$.
Wenn $\mu(A_i)=0$ für alle $i\in \mathbb N$ gilt, was folgt dann für $\bigcup_{i\in \mathbb N} A_i$?
Wenn es ein $i_0\in \mathbb N$ mit $\mu(A_{i_0})\neq 0$ gibt, dann folgt $\mu(A_{i_0})=1$. Beachte nun, dass $\mu(X)=1$ und, dass
$$
A_{i_0}\subseteq \bigcup_{i\in \mathbb N} A_i\subseteq X
$$
gilt.
LG Nico
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-06
|
Wenn $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von Mengen (nicht notwendigerweise paarweise disjunkt) in $\mathcal{A}$ ist, wie kann man dann $\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right)$ abschätzen? Und welche Werte kann $\mu(A_n)$ annehmen (Fallunterscheidung)?
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
Berpal23
Aktiv
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06
|
Danke für die ganzen Antworten :)
Sei also $(A_n)_{n\in\mathbb N} \in \mathcal A$
1. Fall: $\mu(A_n)=0 \forall n$
Dann gilt $0\leq \mu(\bigcup_{n\in \mathbb N} A_n)\leq \sum_{n\in \mathbb N}\mu(A_n)=0$. Also $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb N} A_n)=0$
2. Fall: es existiert ein $k$ mit $\mu(A_k)=1$
Dann $1=\mu(A_k)\leq \mu(\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n)\leq \mu(X)=1$. Also $ \mu(\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n)=1$ und $\mathcal A$ ist eine $\sigma$-Algebra.
Stimmt das so?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-06
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Bis auf
\quoteon(2022-08-06 21:39 - Berpal23 in Beitrag No. 4)
Sei also $(A_n)_{n\in\mathbb N} \in \mathcal A$
\quoteoff
kann man das so stehen lassen. Du meinst ja eigentlich $(A_n)_{n\in\mathbb N} \in \mathcal A^{\mathbb N}$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Berpal23
Aktiv
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06
|
Stimmt, "Sei $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ eine Folge mit $A_n\in \mathcal A$ für alle $n\in\mathbb N$" sollte auch gehen, oder?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-06
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Klar, $\mathcal A^{\mathbb N}$ steht ja gerade für die Menge aller Abbildungen $\mathbb N\to \mathcal A$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Berpal23
Aktiv
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
