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Universität/Hochschule Integration über d-dimensionale Kugel
Pioch2000
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  Themenstart: 2022-08-08

Guten Tag, wie kann ich die folgende Aussage beweisen? Für $x\in\mathbb R^d$ sei $B_x$ der offene Ball mit Radius $1$ um $x$. Für alle $x\in B_0$ und alle $y\in \mathbb R^d\backslash B_0$ gilt $dist(x,\partial B_0)\leq |x-y|$. Zeigen Sie, dass es für alle $\alpha<1$ ein $C\geq 0$ gibt, sodass $\int_{B_x \cap (\mathbb R^d \backslash B_0)}|x-y|^{-d-\alpha}dy\leq \frac{C}{dist(x,\partial B_0)}$ für alle $x\in B_0$ gilt. $\partial B_0$ ist hier der Rand von $B_0$, $dist(x, \partial B_0)$ beschreibt die Distanz von $x$ zu $\partial B_0$ und $|\cdot |$ ist die euklidische Norm in $\mathbb R^d$. Ich habe im zweidimesnionalen Fall versucht durch eine Skizze des Integrationsgebiets eine Idee zu bekommen, das war aber bisher nicht zielführend. Wie kann ich hier am besten anfangen?


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michfei
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-08

Hallo Pioch2000, du integrierst über \(B_x \cap (\mathbb R^d \backslash B_0)\). D.h. deine Integrationsvariable \(y\) liegt eben in diesem Schnitt. Überleg dir mal, was das bedeutet, insbesondere was es für \(\vert x-y \vert\) bedeutet. LG


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Pioch2000
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08

Hi michfei, wenn sich $y$ in $B_x$ bewegt, dann müsste doch $|x-y|\leq 1$sein, oder? Nur was hilft mit das? Wenn ich den Integranden abschätze durch $|x-y|^{-d-\alpha}\leq 1$ dann muss ich ja irgendwie wieder $dist(x,\partial B_0)$ reinbringen.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-08

\quoteon(2022-08-08 15:33 - Pioch2000 in Beitrag No. 2) wenn sich $y$ in $B_x$ bewegt, dann müsste doch $|x-y|\leq 1$sein, oder? \quoteoff Ja, aber $y\in B_x \cap (\mathbb R^d \setminus B_0)$ bedeutet insbesondere auch $y\in \mathbb R^d \setminus B_0$, und damit $\mathrm{dist}(x,\partial B_0)\leq |x-y|$, wie du im Startpost festgestellt hast. Grüße, PhysikRabe


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Pioch2000
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08

Das Integral kann ich dann ja abschätzen mit $\leq \int_{B_x\cap (\mathbb R^d\backslash B_0)} \frac{1}{dist(x,\partial B_0)^{d+\alpha}}dy$ Ich verstehe nicht, wie ich hier jetzt weiter machen kann, wenn ich weiß, dass $dist(x,\partial B_0)\leq 1$. Ich mache den gesamten Bruch ja kleiner wenn ich den Nenner durch 1 abschätze.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-08

\quoteon(2022-08-08 16:11 - Pioch2000 in Beitrag No. 4) Das Integral kann ich dann ja abschätzen mit $\leq \int_{B_x\cap (\mathbb R^d\backslash B_0)} \frac{1}{dist(x,\partial B_0)^{d+\alpha}}dy$ Ich verstehe nicht, wie ich hier jetzt weiter machen kann [...] \quoteoff Der Integrand ist doch nun unabhängig von $y$, oder nicht? Grüße, PhysikRabe


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Pioch2000
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08

Dann bekomme ich $volumen(B_x\cap (\mathbb R^d)\backslash B_0))\cdot \frac{1}{dist(x,partial B_0)^{d+\alpha }}$. Der erste Faktor ist endlich und nicht negativ und ich definiere ihn als $C$. Jetzt stimmt aber im zweiten Faktor der Exponent im Nenner noch nicht.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-08

Stimmt, ganz so funktioniert das nicht... Ich denke später darüber nach, aber vielleicht meldet sich bis dahin schon jemand anderes mit mehr Durchblick als ich gerade 😉 Nur noch ein Kommentar: Du kannst $C$ so ohnehin nicht definieren, weil $C$ unabhängig von $x$ sein soll (die Aufgabe lautet ein $C\geq 0$ zu finden, sodass die Ungleichung für alle $x\in B_0$ gilt, also mit dem selben $C$ für jedes $x$). Grüße, PhysikRabe


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