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Mathematik » Analysis » Limes Superior (Inferior) von Mengenfolgen
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Universität/Hochschule J Limes Superior (Inferior) von Mengenfolgen
Joyboy
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  Themenstart: 2022-08-08

Hallo :-) Ich versuche mir die Begriffe "Limes Superior" und "Limes Inferior" für Mengenfolgen klarzumachen. Dazu habe ich auch zwei kleine Übungsaufgaben, von denen ich eine gelöst habe und eine, für die ich keinen Ansatz finde. Ich habe 3 Fragen, die mir hoffentlich jemand beantworten kann. Definition im Skript: Sei $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{P}(\Omega)^{\mathbb{N}}$ eine Mengenfolge. $\inf\limits_{k \ge n} A_{k} := Inf( \{ A_{n}, A_{n + 1} \} ) = \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} A_{k} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega \in A_{j}\quad \forall\; j \ge n \}$ und $\sup\limits_{k \ge n} A_{k} := Sup( \{ A_{n}, A_{n + 1} \} ) = \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} A_{k} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \ge n: \omega \in A_{j} \}$ $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} := \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \inf\limits_{k \ge n} A_{k} = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \inf\limits_{k \ge n} A_{k} = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} A_{k}$ und $\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} := \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \sup\limits_{k \ge n} A_{k} = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} A_{k}$ 1. Frage: Für den Limes Superior und Inferior gibt es eine Charakterisierung. Ich habe versucht, mir klarzumachen, was beiden Limiten bedeuten, indem ich beide Mengen ausschreibe: Es ist $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in \inf\limits_{k \ge j} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in A_{k}\quad \forall\; k \ge j \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in fast allen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}$ Es ist $\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega \in \sup\limits_{k \ge n} A_{k}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; l \ge n: \omega \in A_{l}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in unendlich vielen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}$ Ist das so mathematisch korrekt geschrieben? Ist die Wahl der Symbole sinnvoll gewählt? Ich bin mir da nicht sicher. Aber sind die Schlussfolgerungen korrekt? 2. Frage: Es soll $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} \subseteq \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}$ gelten. Mein Beweis dazu: Sei $x \in \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}$. Dann existiert ein $j \in \mathbb{N}$ mit $x \in A_{k}\quad \forall\; k \ge j$ Für $n = 1, \ldots, j - 1$ existiert ein $l \ge n$ mit $x \in A_{l}$, nämlich $l = j$. Für $n = j + z$ existiert ein $l \ge n$ mit $x \in A_{l}$, nämlich $l = j + z$ für $z = 0,1,2, \ldots$ Also existiert ein $l \ge n$ mit $x \in A_{l}$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Also ist $x \in \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}$. Das müsste so passen, oder habe ich etwas übersehen? 3. Frage: Hätte jemand einen Ansatz für den Beweis von $\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}) \le \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ und $\mu(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}) \ge \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ ? Das war eine alte Klausuraufgabe und ich weiß überhaupt nicht, wie ich ansetzen soll. Im Netz werde ich leider auch nicht fündig. Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte! Viele Grüße, Joy


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Qing
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-08

Hallo, zu deiner ersten Frage: \quoteon sind die Schlussfolgerungen korrekt? \quoteoff Ja. \quoteon Ist das so mathematisch korrekt geschrieben? Ist die Wahl der Symbole sinnvoll gewählt? Ich bin mir da nicht sicher. \quoteoff Wenn du dir unsicher mit der Darstellung über mathematische Symbole (Quantoren, Junktoren) bist, dann schreibe es eben ohne diese. Das finde ich ohnehin empfehlenswert, da es in der Regel schöner zu lesen ist. Von daher ist die Wahl der Symbole wohl nicht sinnvoll gewählt, da es ja zumindest bei dir zu Verwirrung geführt hat (und wenn man von Tippfehlern absieht). Zu deiner zweiten Frage: Die Aussage ist unmittelbar klar, wenn du deine Umformulierung benutzt. Warum? Ansonsten finde ich deinen Beweis relativ "wirr" was die Notation angeht. Um einen berühmten Mathematiker zu zitieren (dessen Name mir leider entfallen ist...) "Your notation sucks". :D (nicht böse gemeint) Zu deiner dritten Frage (disclaimer: ich habe nicht so genau drüber nachgedacht, kann also auch falsch sein...): Welche Beziehung besteht zwischen diesen Mengenkonstruktionen Liminf und Limsup (Komplement *hust* Kannst du deine Vermutung beweisen?). Es reicht also eine dieser Ungleichungen zu zeigen. Warum? Als nächstes solltest du dir klar machen - wenn nicht schon geschehen -, dass der Liminf/Limsup hier in zwei verschiedenen Situationen auftritt. Einmal für Mengenfolgen und einmal für Folgen reeller Zahlen. \quoteon Im Netz werde ich leider auch nicht fündig. \quoteoff Kleiner Hinweis: Dinge schlägt man am besten in Büchern nach. Das Internet zu benutzen ist ja ganz komfortabel, aber tatsächlich ist es oftmals lohnenswert Dinge in der Literatur zu suchen. Was Definitionen angeht, ist man damit sogar schneller, als danach zu googeln. Das setzt natürlich voraus, dass man die Literatur zur Verfügung hat. In jedem Fall ist es sehr viel angenehmer Dinger in Büchern nachzuschlagen, als diese im Internet zu suchen. Ein Grund dafür ist, dass man bei Büchern auch immer sofort alle background Informationen mit dazu bekommt (Definitionen, benutzte Sätze, eventuell bessere Erklärungen, Anwendungsbeispiele, etc.), während du im Internet nie weißt wer die Information für wen geschrieben hat. Abgesehen davon, dass man bei Büchern durch das blättern eigentlich auch immer anderweitig interessante Dinge sieht, während das Netz einem entweder die Lösung auf dem Silbertablett serviert, oder diese nur für sich allein steht, und dann eventuell nicht nachvollzogen werden kann (fehlende background Informationen halt). Nur als kleine Anmerkung da mal drüber nachzudenken. :)


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Joyboy
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Hallo :-) Sorry für die späte Antwort, aber ich habe mich wirklich noch ne ganze Weile mit der Aufgabe beschäftigt. \quoteon Zu deiner dritten Frage (disclaimer: ich habe nicht so genau drüber nachgedacht, kann also auch falsch sein...): Welche Beziehung besteht zwischen diesen Mengenkonstruktionen Liminf und Limsup (Komplement *hust* Kannst du deine Vermutung beweisen?). Es reicht also eine dieser Ungleichungen zu zeigen. Warum? Als nächstes solltest du dir klar machen - wenn nicht schon geschehen -, dass der Liminf/Limsup hier in zwei verschiedenen Situationen auftritt. Einmal für Mengenfolgen und einmal für Folgen reeller Zahlen. \quoteoff Du meinst die Gleichungen $(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n})^{c} = \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c}$ und $(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n})^{c} = \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c}$ ? Die Gleichung habe ich gestern als kleine Übung gezeigt. Da muss man nur De Morgan anwenden. Was mir aber nicht so klar ist: Warum reicht es, nur eine der beiden Ungleichungen zu zeigen? Ich habe weiter unten die Ungleichung $\mu (\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} ) \le \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}$ bewiesen. Ob ich da noch Leichtsinnsfehler habe, weiß ich. Ich erkenne zumindest keine. Habe übrigens ne ganze Weile für den Beweis gebraucht. Ich muss dringend wieder Analysis 1 üben. Und mit dieser Ungleichung habe ich versucht, die andere zu beweisen, aber habe es nicht geschafft. Dabei habe ich versucht, mit Komplementen zu arbeiten. Zum Beweis der ersten Gleichung: $\mu (\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} ) \le \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}$ Es ist $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N}: \omega \in A_{k}\quad \forall\; k \ge j \}$ Das heißt doch $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} \subseteq A_{k}\quad \forall k \ge j$ und somit $\mu (\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}) \le \mu(A_{k})\quad \forall\; k \ge j$ Da $\inf\limits_{k \ge l} \mu(A_{k}) \in \{ \mu(A_{l})\; \vert \; l \ge j \}$ für alle $l \ge j$ gilt, so folgt direkt $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} \le \inf\limits_{k \ge l}$ für alle $l \ge j$. Weiter ist $\liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}) = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \inf\limits_{k \ge n} \mu(A_{k}) = \sup (\{ \inf\limits_{k \ge 1} \mu(A_{k}), \inf\limits_{k \ge 2} \mu(A_{k}), \ldots \})$ Es gilt $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \inf\limits_{k \ge n} \mu(A_{k}) \ge \inf\limits_{k \ge n} \mu(A_{k})$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Insbesondere gilt $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \inf\limits_{k \ge n} \mu(A_{k}) \ge \inf\limits_{k \ge j} \mu(A_{j}) \ge \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ Also gilt $\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}) \le \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ Was hältst du davon? Und wie könnte ich damit die andere Ungleichung beweisen? \quoteon Kleiner Hinweis: Dinge schlägt man am besten in Büchern nach. Das Internet zu benutzen ist ja ganz komfortabel, aber tatsächlich ist es oftmals lohnenswert Dinge in der Literatur zu suchen. Was Definitionen angeht, ist man damit sogar schneller, als danach zu googeln. Das setzt natürlich voraus, dass man die Literatur zur Verfügung hat. In jedem Fall ist es sehr viel angenehmer Dinger in Büchern nachzuschlagen, als diese im Internet zu suchen. Ein Grund dafür ist, dass man bei Büchern auch immer sofort alle background Informationen mit dazu bekommt (Definitionen, benutzte Sätze, eventuell bessere Erklärungen, Anwendungsbeispiele, etc.), während du im Internet nie weißt wer die Information für wen geschrieben hat. Abgesehen davon, dass man bei Büchern durch das blättern eigentlich auch immer anderweitig interessante Dinge sieht, während das Netz einem entweder die Lösung auf dem Silbertablett serviert, oder diese nur für sich allein steht, und dann eventuell nicht nachvollzogen werden kann (fehlende background Informationen halt). Nur als kleine Anmerkung da mal drüber nachzudenken. :) \quoteoff Ich danke dir für den Tipp. Tatsächlich schlage ich auch in Büchern nach. Habe zuhause zwei Bücher zur Analysis III. Einmal von Heinz Bauer und einmal von Otto Forster. Ich bevorzuge die Bücher auch lieber, weil sie ausführlicher sind und oft Übungsaufgaben enthalten. Aber in diesen Büchern habe ich die Ungleichungen nicht gefunden. Da mir diese aber sehr wichtig sind (die kamen schonmal in einer Altklausur dran), will ich sie unbedingt beweisen. Google hilft mir da aber auch nicht viel, da ich zwar die Aufgabe finde, aber keinen Ansatz dafür. Viele Grüße, Joy


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michfei
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-09

Hallo Joy \quoteon(2022-08-09 16:53 - Joyboy in Beitrag No. 2) Was mir aber nicht so klar ist: Warum reicht es, nur eine der beiden Ungleichungen zu zeigen? \quoteoff Ist \(\mu\) ein endliches Maß auf einem Messraum \((\Omega, \mathcal{A})\)? In dem Fall gilt nämlich \[\mu ( \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} ) = \mu((\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^c)^c ) = \mu(\Omega) - \mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^c) \] Versuche mal von hier aus weiterzumachen, indem du die gezeigte Ungleichung für den Limes inferior und die Ungleichung \[\liminf\limits_{n \to \infty} a_{n} \leq \limsup\limits_{n \to \infty} a_{n}\] verwendest, wobei \((a_n)_{n \in \IN}\) eine Folge reeller Zahlen ist. LG


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Joyboy
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10

Hallo, vielen Dank für deine Antwort! \quoteon Ist \(\mu\) ein endliches Maß auf einem Messraum \((\Omega, \mathcal{A})\)? In dem Fall gilt nämlich $\mu ( \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} ) = \mu((\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^c)^c ) = \mu(\Omega) - \mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^c) $ \quoteoff Ja, es handelt sich um ein endliches Maß auf einem Messraum. Ich habe leider vergessen, die Voraussetzungen hinzuschreiben. Da $\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}) \le \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ gilt, gilt auch $\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c}) \le \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c})$ Da $\liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}) \le \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ gilt, gilt auch $\liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c}) \le \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c})$ Aber dein Tipp hilft mir an dieser Stelle weiter, denn ich erhalte dann: $\mu \left ( \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} \right ) = \mu \left ( \left (\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c} \right)^{c} \right ) = \mu(\Omega) - \mu \left ( \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c} \right ) \ge \mu(\Omega) - \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c})$ $\ge \mu(\Omega) - \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c}) = \mu(\Omega) - \limsup\limits_{n \to \infty} (\mu(\Omega) - \mu(A_{n}) )$ $\ge \mu(\Omega) - (\limsup\limits_{n \to \infty} \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} - \mu(A_{n}) )$ An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter, denn was ist $\limsup\limits_{n \to \infty} - \mu(A_{n})$? Viele Grüße, Joy


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michfei
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-10

Hallo Joy, \quoteon(2022-08-09 23:19 - michfei in Beitrag No. 3) und die Ungleichung \[\liminf\limits_{n \to \infty} a_{n} \leq \limsup\limits_{n \to \infty} a_{n}\] verwendest, wobei \((a_n)_{n \in \IN}\) eine Folge reeller Zahlen ist. LG \quoteoff Tut mir leid, ich hatte einen kleinen Denkfehler und führte dich damit in die Irre. Du brauchst diese Ungleichung nicht. Verwende stattdessen \[-\liminf\limits_{n \to \infty} a_n = \limsup\limits_{n \to \infty} - a_n\] für beschränkte reelle Folgen \((a_n)_{n \in \IN}\) und Proposition 2.3 in https://people.math.aau.dk/~cornean/analyse2_F14/limsup-liminf.pdf Beachte, dass konstante Folgen konvergieren 😉 LG


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chicolino
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-10

Hallo! Vielen lieben Dank für den Link. Jetzt macht die Rechnung Sinn. Ich tippe den Beweis noch für den zukünftigen Leser ab: $\mu(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}) = \mu \left (\left ( \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c} \right )^{c} \right ) = \mu(\Omega) - \mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c}) \ge \mu(\Omega) - \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}^{c})$ $= \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} - \mu(A_{n}^{c})$ $= \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} - (\mu(\Omega) - \mu(A_{n}))$ $= \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} ( \mu(A_{n}) - \mu(\Omega))$ $= \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}) + \limsup\limits_{n \to \infty} - \mu(\Omega)$ (Proposition 2.3) $= \mu(\Omega) + \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n}) + - \mu(\Omega)$ $ = \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ Ich bedanke mich sehr bei euch beiden. War bei der Aufgabe langsam am Verzweifeln :-) Viele Grüße, Joy


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