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Analysis » Funktionalanalysis » Vollständigkeit eines Banachraums
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Universität/Hochschule Vollständigkeit eines Banachraums
TheBlueArtist
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  Themenstart: 2022-08-09

Hallo zusammen! Ich hätte eine Frage aus dem Gebiet der Analysis. Und zwar betrachte ich für eine Arbeit den Raum \[\mathcal{A}\equiv B([1,t],X)\cap C((1,t],X)\] mit der Norm \[\|u\|_{\mathcal{A}}=\sup_{x \in [1,t]}\|u(x)\|_{X}\] wobei $X$ ein Banachraum ist, und die Menge $B([1,t],X)$ die Menge aller beschränkten Funktionen auf dem Intervall $[1,t]$ darstellen. Dabei ist $t>1$. Ich hätte jetzt spontan gesagt, dass dies tatsächlich ein Banachraum ist. Denn falls $f_n$ eine Cauchy Folge in $\mathcal{A}$ ist, dann ist sie insbesondere eine Cauchy Folge in $B([1,t],X)$ und dieser Raum ist vollständig. Daher existiert eine Grenzfunktion $f \in B([1,t],X)$, sodass $f_n \to f$ in der Norm $\|.\|_{\mathcal{A}}$. Dies ist jedoch einfach Gleichmäßige Konvergenz. Da die Funktionen $f_n$ eingeschränkt auf das Intervall $(1,t]$ stetig sind, und auch auf diesem Intervall gleichmäßig gegen $f$ konvergieren, ist auch $f$ auf $(1,t]$ stetig und damit $f \in B([1,t],X)\cap C((1,t],X)$ womit die Vollständigkeit bewiesen wäre. Ist das soweit richtig oder habe ich einen Denkfehler drin den ich übersehe?


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-09

Hallo TheBlueArtist, dein Beweis ist so korrekt. Vielleicht würde ich noch kurz erwähnen, bzgl. welcher Norm \(B([1,t],X)\) vollständig ist (ich nehme mal an, dass diese Vollständigkeit bereits bekannt ist)


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TheBlueArtist
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09

Hallo Kampfpudel, vielen Dank dir für deine schnelle Antwort! Dann werde ich deinen Tipp noch gleich im Beweis berücksichtigen.


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TheBlueArtist hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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