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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » C/R Zerfällungskörper
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Universität/Hochschule C/R Zerfällungskörper
Faultier
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.07.2022
Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2022-08-12

Hey, ich fange gerade mit Galoistheorie an und beschäftige mich derzeit mit der Galois-Erweiterung $\mathbb{C } \mathbb{R}$ (ich weiß leider nicht wie ich ein"\" mit Latex mache) zu dem ich leider gerade nicht weiter komme. Zu der Lösung einer Aufgabe wird dazu u.a. gesagt, dass $\mathbb{C }\mathbb{R}$ der Zerfällungskörper von $X^2+1$ ist. Aber ich verstehe ehrlich gesagt nicht so ganz wieso. Wie kann man von ganz $\mathbb{R}$ auf ein Polynom vom Grad $2$ schließen? Meine Idee dazu wäre, dass der Zerfällungskörper des Polynoms $\mathbb{R}(-i,i)$ ist. Aber wie schließe ich damit auf $\mathbb{C } \mathbb{R}$, nur weil $i \in \mathbb{C}$? Es tut mir Lied, falls ich hier viel durcheinanderwerfe. ich freue mich über jede Hilfe. Viele Grüße Faultier PS. Bitte entschuldigt den blöden Rechtschreibfehler in der Überschrift. Ich kann das leider nicht mehr selber ändern😖


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Qing
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Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 270
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12

Hallo, das Symbol "$\setminus$" kriegst du mit \setminus. Ist aber nicht das Symbol was du willst. Sondern / und da kannst du einfach das von deiner Tastatur benutzen. $\setminus$ ist - wie der Name es verrät - die Mengendifferenz. Ansonsten ist Detexify bei solchen Fragen immer sehr nützlich. \quoteon Zu der Lösung einer Aufgabe wird dazu u.a. gesagt, dass $\mathbb{C }\mathbb{R}$ der Zerfällungskörper von $X^2+1$ ist. \quoteoff Der Zerfällungskörper eines Polynoms (mit Koeffizienten in einem anderen Körper) ist die kleinste Körpererweiterung über dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. In dem Zusammenhang verstehe ich die Frage: \quoteon Wie kann man von ganz $\mathbb{R}$ auf ein Polynom vom Grad $2$ schließen? \quoteoff nicht. Ich glaube du hast die Definition noch nicht verinnerlicht. "Zerfällungskörper" ist ein relativer Begriff, und hängt von einem gegebenen Polynom ab. Indem Fall eben von dem Polynom von $X^2+1\in\mathbb{R}[X]$. \quoteon Meine Idee dazu wäre, dass der Zerfällungskörper des Polynoms $\mathbb{R}(-i,i)$ ist. Aber wie schließe ich damit auf $\mathbb{C}/ \mathbb{R}$, nur weil $i \in \mathbb{C}$? \quoteoff Du benutzt hier eine falsche Sprache/Symbolik. In dem Kontext meinst du "wie schließe ich damit auf $\mathbb{C}$ (als Zerfällungskörper)", aber wahrscheinlich hatte das andere Gründe, also lassen wir das. Grundsätzlich ist die Idee korrekt. Es ist $\mathbb{R}(-i,i)=\mathbb{R}(i)$. Warum? Und $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$. Warum? (Nach Definition ist $\mathbb{R}(i)$ der kleinste Körper, der $\mathbb{R}$ und $i$ enthält) Hier wäre Gleichheit von Mengen zu zeigen (bemerke, dass indem Kontext eigentlich Körper gemeint sind, nur am Rande erwähnt). Mengengleichheit zeigt man, indem man die beiden Inklusionen $\subseteq$ und $\supseteq$ prüft. Wieso gilt $\mathbb{R}(i)\subseteq\mathbb{C}$? (Begründe das mit der Definition von $\mathbb{R}(i)$). Wieso gilt $\mathbb{R}(i)\supseteq\mathbb{C}$? "Sei $z\in\mathbb{C}$, dann ist $z=x+iy$ usw. "


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Faultier
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12

Hallo Qing, vielen vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, mir einen so langen Text zu schreiben. Das hat mir wirklich sehr geholfen, in der Thematik weiterzukommen (und von Detexify bin ich mehr als begeistert, das werde ich jetzt definitiv öfters benutzen) Bezüglich des Zerfällungskörpers und des Polynoms habe ich es dann wohl wirklich erst komplett falscherem verstanden, bzw. war etwas verwirrt, da $\textbf{erst in der Lösung}$ ein Polynom zu dem Zerfällungskörper angegeben wurde. Abr so herum macht es natürlich viel mehr Sinn. Ansonsten habe ich deine anderen Rückfragen so beantwortet: -->Wieso gilt $\mathbb{R}(-i,i)=\mathbb{R}(i)$?: Gilt dies, da $-i \in \mathbb{R}(i)$ -->Wieso gilt $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$?: Das kann man mit dem Hauptsatz der Algebra begründen, nach welchem $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$ algebraisch abgeschlossen ist. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe! LG


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Qing
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12

Nichts zu danken. \quoteon(2022-08-12 22:06 - Faultier in Beitrag No. 2) -->Wieso gilt $\mathbb{R}(-i,i)=\mathbb{R}(i)$?: Gilt dies, da $-i \in \mathbb{R}(i)$ \quoteoff Ja, aber das ist eine Frage. Am besten gibst du eine Begründung mit an. Für das mathematische Schreiben gibt es wohl zwei Tipps. Bei jedem Satz den ein anderer hinschreibt sich fragen, warum das gilt. Bei jedem Satz, den man selber hinschreibt einem potentiellem Leser zu verraten, warum es gilt. \quoteon -->Wieso gilt $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$?: Das kann man mit dem Hauptsatz der Algebra begründen, nach welchem $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$ \quoteoff Der Hauptsatz der Algebra sagt, dass jedes Polynom über $\mathbb{C}$ in Linearfaktoren zerfällt. Also, dass $\mathbb{C}$ ein potentieller Zerfällungskörper ist, aber warum ist dieser der kleinste? Mit anderen Worten zeigt dies, dass $\mathbb{R}(i)\subseteq\mathbb{C}$. Das ist aber auch ohne diesem Satz klar. Denn $\mathbb{C}$ ist ja ein Körper, der sowohl $i$ als auch $\mathbb{R}$ enthält. Also ist der Zerfällungskörper jedenfalls nicht größer als $\mathbb{C}$, aber eventuell ja kleiner.


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Faultier
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

Guten Morgen, vielen Dank nochmal für deine Hilfe. Ich habe so "zögerlich" auf die Fragen geantwortet, weil ich mir bei der Begründung nicht so sicher war, bzw. ob diese wirklich ausrecht, -->Wieso gilt $\mathbb{R}(−i,i)=R(i)$?: $−i \in \mathbb{R}(i)$ gilt, da $(-i)^k \in \{-1,1,i,-i\}$. Unmathematisch gemeint: $i$ kann man als Repräsentanten von $i$ sehen. Es tut mir leid, dass ich hierauf (stand jetzt) nicht genauer antworten kann. Ich habe mir dazu auch diese Aufgabe (a) angeschaut https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/stexaufg/aufg/stF12T1A5.pdf und hier wurde auch, das Vorzeichen bei den Adjustierungen weggelassen bzw. Repräsentanten gewählt🤔


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Qing
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-13

Naja, es gilt $i\in\mathbb{R}(i)$ nach Definition, und ebenso ist dieses "Konstrukt" ein Körper. Also abgeschlossen bezüglich Multiplikation. Da $i$ und $-1$ Elemente sind, ist auch $(-1)i=-i$ ein Element. Deine Begründung, dass $i^3=-i$ passt aber auch, nach dem gleichen Argument. Also die Begriffe "Körper" und "multiplikative Abgeschlossenheit" sollten in einem Beweis fallen. Falls noch nicht bekannt, solltest du mal folgenden Artikel lesen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805 Ich habe allgemein das Gefühl, dass du im Umgang mit Definitionen und direkten Folgerungen daraus noch Schwierigkeiten hast (jedenfalls nach diesem Thread zu urteilen). Die gute Nachricht ist, dass sich dies recht strukturiert erlernen lässt, indem man einfach ganz viele einfache Beweise selber führt, oder Beweise liest und versucht zu verstehen.


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Faultier
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13

Hey Qing, tut mir leid erstmal für meine späte Antwort. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. Ich glaube auch, dass ich ab hier erstmal deinen Artikel lesen und nochmal auf Grundlagen eingehen sollte. LG Faultier


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Qing
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Mitteilungen: 270
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-13

Hallo Faultier, mir ist nicht wichtig wie viel Zeit du dir für eine Antwort nimmst. Lieber zu viel, als zu wenig.


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Faultier hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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